Умножение и деление степеней с одинаковым основанием. Умножение степеней с одинаковыми основаниями и разными показателями
Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями. Разработки уроков
На этом уроке мы изучим умножение степеней с одинаковыми показателями. Сначала вспомним основные определения и теоремы об умножении и делении степеней с одинаковыми основаниями и возведении степень в степень. Затем сформулируем и докажем теоремы об умножении и делении степеней с одинаковыми показателями. А затем с их помощью решим ряд типичных задач.
Тема: Степень с натуральным показателем и ее свойства
Урок: Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями
1. Напоминание основных определений и теорем
Напоминание:
Основные определения:
Здесь a - основание степени,
n - показатель степени,
- n-ая степень числа.
Теорема 1. Для любого числа а и любых натуральных n иk справедливо равенство:
При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, основание остается неизменным.
Теорема 2. Для любого числа а и любых натуральных n иk, таких, что n >k справедливо равенство:
При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели отнимаются, а основание остается неизменным.
Теорема 3. Для любого числа а и любых натуральных n иk справедливо равенство:
Все перечисленные теоремы были о степенях с одинаковыми основаниями, на этом уроке будут рассмотрены степени с одинаковыми показателями.
2. Примеры на умножение степеней с одинаковыми показателями
Рассмотрим следующие примеры:
Распишем выражения по определению степени.
1)
2)
Вывод: из примеров можно заметить, что , но это еще нужно доказать. Сформулируем теорему и докажем ее в общем случае, то есть для любых а и b и любого натурального n.
3. Формулировка и доказательство теоремы 4
Теорема 4
Для любых чисел а и b и любого натурального n справедливо равенство:
Доказательство теоремы 4.
По определению степени:
.
Итак, мы доказали, что .
Чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями, достаточно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.
4. Формулировка и доказательство теоремы 5
Сформулируем теорему для деления степеней с одинаковыми показателями.
Теорема 5
Для любого числа а и b () и любого натурального n справедливо равенство:
Доказательство теоремы 5.
Распишем и по определению степени:
5. Формулировка теорем словами
Итак, мы доказали, что .
Чтобы разделить друг на друга степени с одинаковыми показателями, достаточно разделить одно основание на другое, а показатель степени оставить неизменным.
6. Решение типичных задач с помощью теоремы 4
Пример 1: Представить в виде произведения степеней.
Для решения следующих примеров воспользуемся теоремой 4.
а)
б)
в)
Для решения следующего примера вспомним формулы:
г)
д)
е)
ж)
7. Обобщение теоремы 4
Обобщение теоремы 4:
8. Решение примеров с помощью обобщенной теоремы 4
з)
и)
к)
л)
9. Продолжение решения типичных задач
Пример 2: Запишите в виде степени произведения.
а)
б)
в)
г)
Пример 3: Запишите в виде степени с показателем 2.
а)
б)
10. Примеры на вычисление
Пример 4: Вычислить самым рациональным способом.
а)
б)
11. Выводы
Список рекомендованной литературы
1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.
2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ
3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.
Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет
1. Школьный помощник .
2. Школьный помощник .
3. ГДЗ. Видеоуроки по математике .
Рекомендованное домашнее задание
1. Представить в виде произведения степеней:
а) ; б) ; в) ; г) ;
2. Запишите в виде степени произведения:
а) б) в)
3. Запишите в виде степени с показателем 2:
а) б) в)
4. Вычислить самым рациональным способом.
а)
Свойства степеней с одинаковыми основаниями — Науколандия
Существует три свойства степеней с одинаковыми основаниями и натуральными показателями. Это
- Произведение двух степеней с одинаковыми основаниями равно выражению, где основание то же самое, а показатель есть сумма показателей исходных множителей.
- Частное двух степеней с одинаковыми основаниями равно выражению, где основание то же самое, а показатель есть разность показателей исходных множителей.
- Возведение степени числа в степень равно выражению, в котором основание — это то же самое число, а показатель — это произведение двух степеней.
Будьте внимательны! Правил относительно сложения и вычитания степеней с одинаковыми основаниями не существует.
Запишем эти свойства-правила в виде формул:
- am × an = am+n
- am ÷ an = am–n
- (am)n = amn
Теперь рассмотрим их на конкретных примерах и попробуем доказать.
52 × 53 = 55 — здесь мы применили правило; а теперь представим как бы мы решали этот пример, если бы не знали правила:
39 ÷ 35 = 39–5 = 34. Запишем деление в виде дроби:
Ее можно сократить:
В результате получим:
Таким образом мы доказали, что при делении двух степеней с одинаковыми основаниями, их показатели надо вычитать.
Однако при делении нельзя, чтобы делитель был равен нулю (так как на ноль делить нельзя). Кроме того, поскольку мы рассматриваем степени только с натуральными показателями, то не можем в результате вычитания показателей получить число меньше, чем 1. Поэтому на формулу am ÷ an = am–n накладываются ограничения: a ≠ 0 и m > n.
Перейдем к третьему свойству:(22)4 = 22×4 = 28
Запишем в развернутом виде:(22)4 = (2 × 2)4 = (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 28
Можно прийти к такому выводу и логически рассуждая. Нужно перемножить два в квадрате четыре раза. Но в каждом квадрате две двойки, значит всего двоек будет восемь.
Умножение и деление степеней с одинаковым основанием
Тема: «Умножение и деление степеней с одинаковым основанием»
2 урок по данной теме
Цели:
Создать условия для закрепления умения выполнять умножение и деление степеней с одинаковым основанием, повторить повторить определение степени числа с натуральным показателем n>1
Развивать логические операции мышления: анализ, синтез, обобщение, умение делать выводы, вычислительные навыки
Воспитывать аккуратность, самостоятельность, учить детей сотрудничать, оказывать помощь друг другу.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, презентация, раздаточный материал, доска, мел.
Методы: словесные, практические
Формы: беседа, практикум.
Форма организации деятельности учащихся: фронтальная, парная.
Ход урока:
Этапы
Деятельность учителя и учащихся
Организационный момент
(2 мин)
Здравствуйте, ребята! Хочу обратить ваше внимание, что у нас сегодня с вами необычный урок. На нашем уроке присутствуют гости. Повернитесь к гостям, поздоровайтесь с ними. Присаживайтесь. Положительный настрой на урок
Долгожданный дан звонок – Начинается урок. Тут затеи и задачи, Игры, шутки, всё для вас. Пожелаю всем удачи – За работу! В добрый час!
(Объяснение работы с маршрутным листом и критериями оценивания.)Ребята, у каждого из вас лежит маршрутный лист. За каждый вид работы на уроке вы будете проставлять себе баллы. И в конце урока выставить себе отметку.
Актуализация знаний (2 мин)
Ребята, давайте вспомним, какую тему мы изучали с вами на прошлом уроке? ( Умножение и деление степеней с одинаковым основанием).
Чему мы научились?
Целеполагание
(2мин)
Сегодня мы продолжим работать по теме «Умножение и деление степеней с одинаковым основанием». Какие цели вы можете поставить исходя из темы урока? (Дети ставят перед собой цели). Учитель обобщает цели!
Устный счет
(3 мин)
Дайте определение степени.
Представьте произведения в виде степеней
9·9·9 = 9³
(-х)(-х)(-х)(-х)(-х) = (- х)⁵
(а-с)(а-с) = (а – с)²
Найдите значение выражения
(-2)⁴ = 16
= -1/32
(- 0,1)³ = -0,001
Проверка домашнего задания.(5 мин)
Откройте тетради, запишите число и классная работа.
Что было задано на дом?
Сравните свое решение, с решением, которое представлено на слайде.
Какое правило вы применяли при выполнении №408, №409? (умножение степеней с одинаковым основанием). Как выполнить умножение степеней с одинаковым основанием?
Какое правило применяли при выполнении №414, №415? (деление степеней с одинаковым основанием). Как выполнить деление степеней с одинаковым основанием?
Оцените работу согласно критериям и проставьте баллы в маршрутный лист.
Закрепление
ин)
Работа по учебнику (с контролерами)
Откройте учебник на 95 стр. № 410.
Прочитайте задание. Чем данное задание отличается от тех,которые мы с вами уже выполняли? (разное основание). Подумайте в парах, как можно решить это задание. Один учащийся решают у доски с комментированием, остальные самостоятельно в тетрадях.
С.96, № 417. Прочитайте задание.
В чем особенность данного задания? (дробная черта). Что означает дробная черта? (деление). Обсудите в парах решение данного задания. Один учащийся решают у доски с комментированием, остальные самостоятельно в тетрадях. После проверка.
Физкультминутка
Чему равна степень числа с нулевым показателем? (степень числа а с нулевым показателем равна единице.)
№420 устно. Задание представлено на слайде.
Найдите значение выражение.
№418. Один учащийся у доски с комментированием, остальные в тетради.
Самостоятельная работа
(13 мин)
Переходим к выполнению самостоятельной работы. У каждого из вас лежит конверт с заданием. В каждом конверте 3 карточки разного цвета. Розовая карточка содержит задания на отметку «5», зеленая карточка на «4», желтая карточка на «3». Выберите ту карточку, с которой вы можете справиться.. После выполнения проверяют по готовым ключам и выставляют отметки согласно критериям. (самопроверка)
Подведение итогов
(3 мин)
1.. Выставление отметок.
2. Домашнее задание.
3. Подведение итогов.
4. Проведение рефлексии.
