Методы решения показательных уравнений. Уравнение со степенью
Степенные или показательные уравнения. | tutomath
Приветствую вас дорогие учащиеся!Рекомендуем подписаться на канал на youtube нашего сайта TutoMath.ru, чтобы быть в курсе всех новых видео уроков.
Для начала вспомним основные формулы степеней и их свойства.
Произведение числа a само на себя происходит n раз, это выражение мы можем записать как a•a•…•a=an
1. a0 = 1 (a ≠ 0)
2. a1 = a
3. an • am = an + m
4. (an)m = anm
5. anbn = (ab)n
6. a-n= 1/an
7. an/am= an — m
Степенные или показательные уравнения – это уравнения в которых переменные находятся в степенях (или показателях), а основанием является число.
Примеры показательных уравнений:
6x=36
В данном примере число 6 является основанием оно всегда стоит внизу, а переменная x степенью или показателем.
Приведем еще примеры показательных уравнений.2x*5=1016x — 4x — 6=0
Теперь разберем как решаются показательные уравнения?
Возьмем простое уравнение:
2х = 23
Такой пример можно решить даже в уме. Видно, что x=3. Ведь чтобы левая и правая часть были равны нужно вместо x поставить число 3.А теперь посмотрим как нужно это решение оформить:
2х = 23х = 3
Для того, чтобы решить такое уравнение, мы убрали одинаковые основания (то есть двойки) и записали то что осталось, это степени. Получили искомый ответ.
Теперь подведем итоги нашего решения.
Алгоритм решения показательного уравнения:1. Нужно проверить одинаковые ли основания у уравнения справа и слева. Если основания не одинаковые ищем варианты для решения данного примера.2. После того как основания станут одинаковыми, приравниваем степени и решаем полученное новое уравнение.
Теперь прорешаем несколько примеров:
Начнем с простого.
2х+2 = 24
Основания в левой и правой части равны числу 2, значит мы можем основание отбросить и приравнять их степени.
x+2=4 Получилось простейшее уравнение.x=4 — 2x=2Ответ: x=2
В следующем примере видно, что основания разные это 3 и 9.
33х — 9х+8 = 0
Для начала переносим девятку в правую сторону, получаем:
33х = 9х+8
Теперь нужно сделать одинаковые основания. Мы знаем что 9=32 . Воспользуемся формулой степеней (an)m = anm.
33х = (32)х+8
Получим 9х+8 =(32)х+8 =3 2х+16
33х = 3 2х+16 теперь видно что в левой и правой стороне основания одинаковые и равные тройке, значит мы их можем отбросить и приравнять степени.
3x=2x+16 получили простейшее уравнение3x — 2x=16x=16Ответ: x=16.
Смотрим следующий пример:
22х+4 — 10•4х = 24
В первую очередь смотрим на основания, основания разные два и четыре. А нам нужно, чтобы были — одинаковые. Преобразовываем четверку по формуле (an)m = anm.
4х = (22)х = 22х
И еще используем одну формулу an • am = an + m:
22х+4 = 22х•24
Добавляем в уравнение:
22х•24 — 10•22х = 24
Мы привели пример к одинаковым основаниям. Но нам мешают другие числа 10 и 24. Что с ними делать? Если приглядеться видно, что в левой части у нас повторяется 22х ,вот и ответ — 22х мы можем вынести за скобки:
22х(24 — 10) = 24
Посчитаем выражение в скобках:
6•22х = 24
Все уравнение делим на 6:
22х = 4
Представим 4=22:
22х = 22 основания одинаковые, отбрасываем их и приравниваем степени.2х = 2 получилось простейшее уравнение. Делим его на 2 получаемх = 1Ответ: х = 1.
Решим уравнение:
9х – 12*3х +27= 0
Преобразуем:9х = (32)х = 32х
Получаем уравнение:32х — 12•3х +27 = 0
Основания у нас одинаковы равны трем.В данном примере видно, что у первой тройки степень в два раза (2x) больше, чем у второй (просто x). В таком случаем можно решить методом замены. Число с наименьшей степенью заменяем:
3х = t
Тогда 32х = (3х)2 = t2
Заменяем в уравнении все степени с иксами на t:
t2 — 12t+27 = 0Получаем квадратное уравнение. Решаем через дискриминант, получаем:D=144-108=36t1 = 9t2 = 3
Возвращаемся к переменной x.
Берем t1:t1 = 9 = 3х
Стало быть,
3х = 93х = 32х1 = 2
Один корень нашли. Ищем второй, из t2:t2 = 3 = 3х3х = 31х2 = 1Ответ: х1 = 2; х2 = 1.
На сайте Вы можете в разделе ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ задавать интересующие вопросы мы Вам обязательно ответим.
Вступайте в группу ВКОНТАКТЕ
Решение показательных уравнений
Показательные уравнения – это уравнения вида
где
x -неизвестный показатель степени,
a и b– некоторые числа.
Примеры показательного уравнения:
А уравнения:
уже не будут являться показательными.
Рассмотрим примеры решения показательных уравнений:
Пример 1. Найдите корень уравнения:
Приведем степени к одинаковому основанию, чтобы воспользоваться свойством степени с действительным показателем
Тогда можно будет убрать основание степени и перейти к равенству показателей.
Преобразуем левую часть уравнения:
Далее используем свойство степени
Преобразуем правую часть уравнения:
Используем свойство степени
Ответ: 4,5.
Пример 2. Решите неравенство:
Разделим обе части уравнения на
Замена:
Обратная замена:
Число обращается в 1, если его показатель равен 0
Ответ: x=0.
Пример 3.
Решите уравнение и найдите корни на заданном промежутке:
Приводим все слагаемые к одинаковому основанию:
Замена:
Ищем корни уравнения, путём подбора кратных свободному члену:
– подходит, т.к. равенство выполняется. – подходит, т.к. равенство выполняется.– подходит, т.к. равенство выполняется.– не подходит, т.к. равенство не выполняется.
Обратная замена:
1)
Число обращается в 1, если его показатель равен 0
2)
Не подходит, т.к.
3)
Логарифмируем обе части по основанию 2:
Правая часть равна 1, т.к.
Показатель степени встаёт перед выражение, т.к.
Отсюда:
Пример 4.
Решите уравнение:
Замена: , тогда
Обратная замена:
1 уравнение:
если основания чисел равны, то их показатели будут равны, то
2 уравнение:
Логарифмируем обе части по основанию 2:
Показатель степени встаёт перед выражение, т.к.
Левая часть равна 2x, т.к.
Отсюда:
Пример 5.
Решите уравнение:
Преобразуем левую часть:
Перемножаем степени по формуле:
Упростим: по формуле:
Представим в виде :
Замена:
Переведём дробь в неправильную:
Вычисляем корень из дискриминанта:
a2 -не подходит, т.к. а не принимает отрицательные значения
Обратная замена:
Приводим к общему основанию:
Если
Ответ: x=20.
Пример 6.
Решите уравнение:
О.Д.З.
Преобразуем левую часть по формуле:
Замена:
Вычисляем корень из дискриминанта:
a2-не подходит, т.к. а не принимает отрицательные значения
Приводим к общему основанию:
Если
Возводим в квадрат обе части:
Ответ: x=9.
Автор статьи: Дьяков Александр Дмитриевич
Редакторы статьи: Гаврилина Анна Викторовна, Агеева Любовь Александровна
www.teslalab.ru
Показательные уравнения, формулы и примеры
Простейшие показательные уравнения
В зависимости от знака такое уравнение имеет различное количество корней:
- если , то уравнение (1) решений не имеет, то есть
- если , то
- Если .
- Если .
Уравнения такого типа равносильны уравнению
Уравнения вида
- Если , то обе части такого уравнения равны для любых .
- Если , то уравнение эквивалентно уравнению .
- В случае, если , то уравнение эквивалентно системе
Решение показательных уравнений сведением к общему основанию
Если левая и правая части заданного показательного уравнения содержат только произведения, частные, корни или степени, то рациональнее при помощи основных формул для степеней привести обе части равенства к одному основанию, то есть к уравнению вида (2).
Решение показательных уравнений вынесением общего множителя
Если показательное уравнение содержит выражение вида , причем показатели степени отличаются только свободным коэффициентом, то для решения необходимо вынести за скобки наименьшую степень .
Приведение показательных уравнений к квадратным
К показательным уравнениям, которые можно привести к квадратным, относятся следующие уравнения.
где — некоторые числа, .
В этом случае выполняется замена
где — некоторые ненулевые числа, причем , — произвольное действительное число. Для сведения к квадратному обе части уравнения необходимо умножить на :
Далее заменой получаем квадратное уравнение
Однородные показательные уравнения
Делением обеих его частей на (или ), сводим уравнение к показательному вида :
Схема решения таких уравнений следующая:
1) Делим обе части уравнения или на , или на , в результате получаем:
или
;2) заменой последнее уравнение сводится к квадратному:
ru.solverbook.com
Методы решения показательных уравнений
Разделы: Математика
Методы решения показательных уравнений
1. Простейшие показательные уравнения
Примеры.
Пример 1. Решите уравнение: 34x-5 = 3x+4 .
Решение.
34x-5 = 3x+4 <=> 4x 5 = x+4 <=> 3x=9<=> x = 3 .
Ответ:3
Пример 2. Решите уравнение: 2x-4 = 3 .
Решение.
2x-4 = 3 <=> x- 4 = x = + 4 <=> x = + <=> x = .
Ответ:.
Пример 3. Решите уравнение:-3x = -7 .
Решение.
-3x = -7 , решений нет, так как -3x > 0 для x R .
Ответ: .
2. Методы преобразования показательных уравнений к простейшим.
A. Метод уравнивания оснований.
Пример 1. Решите уравнение: 27- = 0 .
Решение.
27- = 0 <=> 3334x-9- (32)x+1 = 0 <=> 33+ (4x-9)- 32(x+1) = 0<=> 34x-6-32x+2 = 0 <=> 34x-6 = 32x+2<=> 4x-6=2x+2 <=> 2x = 8 <=> x=4.
Ответ: 4.
Пример 2. Решите уравнение: .
Решение.
0 <=> (22)x3x5x = 604x-15 <=> 4x3x5x = 604x-15 <=> (4x = 604x-15 <=> 60x=604x-15 <=> <=>x=4x-15 <=> 3x=15 <=> x=5.
Ответ: 5.
В. Уравнения, решаемые разложением на множители.
Примеры.
Пример 1. Решите уравнение: x2x = 22x + 8x-16.
Решение.
x2x = 22x + 8x-16 <=> x2x - 22x = 8x-2) <=> 2x(x-2) - 8<=> (x-2) x - 8) = 0 <=> <=> <=> <=> .
Ответ:
Пример 2 . Решите уравнение:
Решение.
52x - 7x - 52x35 +7x = 0 <=> (52x - 7x)((
Ответ: 0.
С. Уравнения, которые с помощью подстановки f(x) = t, t>0 преобразуются к квадратным уравнениям (или к уравнениям более высоких степеней).
Пусть , где А, В, С - некоторые числа. Сделаем замену: >0, тогда A2 + B + C = 0
Решаем полученное уравнение, находим значения t, учитываем условие t >0 , возвращаемся к простейшему показательному уравнению f(x) = t, решаем его и записываем ответ.
Примеры.
Пример 1 . Решите уравнение: 22+x - 22-x = 5.
Решение.
22+x - 22-x = 5 <=> 222x - = 15 <=> 4(2x)2 - 4 = 15x
Делаем замену t = 2x, t > 0. Получаем уравнение 42 - 4 = 15t <=> 4t2 - 15t - 4=0
<=> , t = не удовлетворяет условию t > 0.
Вернемся к переменной х:
2х = 4<=> 2x = 22 <=> x=2.
Ответ: 2
Пример 2. Решите уравнение:
Решение.
5
Делаем замену: , тогда Получаем уравнение:
5 , t = не удовлетворяет условию t
Вернемся к переменной Х:
Ответ: 2.
D. Уравнения, левая часть которых имеет вид A nx + B kx bmx + С bnx, где k, m N, k + m = n
Для решения уравнения такого типа необходимо обе части уравнения разделить либо на nx, либо на nx и получится уравнение типа С).
Примеры.
Пример 1. Решите уравнение: 222x - 5x + 332x = 0.
Решение.
222x - 5x + 332x = 0 <=> 22x - 5x3x + 332x = 0 <=> 2 - + 3 = 0 <=>
<=> 22x - 5x + 3 = 0
Пусть t = x, t>0 , тогда 2t- 5t + 3 = 0 <=> , оба значения t удовлетворяют условию t Вернемся к переменной х:
<=> <=> .Ответ:
Пример 2. Решите уравнение: 8x + 18x - 227x = 0 .
Решение.
8x + 18x - 227x = 0 <=> + - 2 = 0 <=> 23x + 2x 32x - 233x = 0<=>
<=> + - 2 = 0 <=> + - 2 = 0.
Пусть = t, t>0 , тогда t3 + t - 2 = 0<=> (t3 - 1) + (t -1 )= 0 <=> (t-1) (t2 +t +1) + (t - 1) <=> (t - 1) (t2 + t +2) = 0 <=> <=> t - 1= 0 <=> t=1. (t>0)
Вернемся к переменной х: = 1 <=> = x = 0 .
Ответ: 0.
К данному типу уравнений относятся уравнения , левая часть которых имеет вид , где А, В, С -некоторые числа, причем .
Уравнения такого типа решаются с помощью подстановки :
= t , тогда = .
Пример 3. Решите уравнение:
Решение.
Заметим, что произведение оснований степени равно единице:
(. Поэтому можно ввести новую переменную: , причем . Получим уравнение:
t ,оба корня удовлетворяют условию :.
Вернемся к переменной х:
.Ответ: .
Е. Уравнения, имеющие вид Aam = Bbm.
Для решения необходимо обе части уравнения разделить либо на am, либо на bm. В результате получается простейшее уравнение.
Примеры.
Пример 1. Решите уравнение: 7х = 5х.
Решение.
7х = 5х <=> = 1 <=> = <=> x = 0.
Ответ: 0.
Пример 2. Решите уравнение: .
Решение.
.
Ответ: 2.
F. Метод, основанный на использовании свойства монотонности показательной функции .
Примеры.
Пример 1. Решите уравнение: .
Решение.
Заметим, что при х=1 уравнение обращается в тождество. Следовательно, х=1 - корень уравнения. Перепишем уравнение в виде
(*)Так как при основании, меньшем единицы, показательная функция убывает на R, то при хлевая часть уравнения (*) больше единицы, то есть
Если то левая часть уравнения меньше единицы, то есть
Поэтому, других корней, кроме х=1, уравнение не имеет.
Ответ: 1.
Пример 2. Решите уравнение: .
Решение.
Это уравнение также обращается в тождество при х=1.
Перепишем уравнение в виде:
.При основании, меньшем единицы, показательная функция убывает на R.
Поэтому при ха при х: . Таким образом, других корней, кроме х=1 , уравнение не имеет.
Ответ: 1.
G. Графический способ решения уравнений вида f(x).Чтобы графически решить уравнение такого вида, необходимо построить графики функций y=f(x) в одной системе координат и найти (точно или приближенно) абсциссы точек (если они есть) пересечения этих графиков. Абсциссы этих точек - корни данного уравнения (точность результатов определяем только после подстановки в уравнение ).
Примеры.
Пример 1. Решите уравнение: .
Решение.
1.Рассмотрим две функции: f(x) = и g(x) = x+1.
2.Графиком функции f(x) = является кривая, расположенная в верхней полуплоскости, графиком функции g(x) = x+1 является прямая.
3. Зададим таблицы значений этих функций:
х | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | ||
f(x) = | 1 | 2 | 4 | ||||
х | 0 | 3 | |||||
g(x)= x+1 | 1 | 4 |
4. Из рисунка видно, что прямая и кривая пересекаются в двух точках- в точке А и в точке В. По графику определяем абсциссы этих точек: . Значит, уравнение имеет два корня: х=3 и х= . Число х=3 - точный корень заданного уравнения, так как при подстановке в это уравнение получается верное числовое равенство:
Ответ: 3; .
Пример 2. Решите уравнение: .
Решение.
1. Рассмотрим две функции f(x) = и g(x) = .Используем свойства степени и преобразуем выражение :
= , тогда вторую формулу можно переписать в виде: f(x) = .2. Функция f(x) = - показательная по основанию и ее графиком является кривая, расположенная в верхней полуплоскости.
Функция g(x) =- прямая пропорциональность и ее график - прямая, проходящая через точку .
3. Зададим таблицы значений этих функций и затем построим их графики в одной системе координат.
4. Графики пересекаются в одной точке - в точке А, ее абсцисса равна единице.Значит, х=1 - корень заданного уравнения.
Примечание:
Если одна часть уравнения содержит убывающую функцию f(x) , а другая часть -возрастающую функцию g(x), и уравнение имеет корень х=, то он -единственный.
В примере 2. : f(x) = убывающая на R функция, а g(x = - возрастающая на R функция, х=1- корень уравнения и он единственный.
Ответ: 1.
Приложение к статье "Методы решения показательных уравнений"
xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai
Показательные уравнения. Решения
Решение множества показательных уравнений не обходится без замен, квадратных уравнений и сложных преобразований. Приведенные ниже примеры помогут Вам в этом быстро разобраться и научат решать самые сложные из них. Также Вы сможете выучить некоторые свойства логарифмов без которых показательные уравнения в простой способ не решить. Начнем с самых азов - теоретического материала об уравнениях.Показательными называют уравнения в которых неизвестная величина содержится в показателе степени, при этом основа степени не содержит неизвестной величины. Самое простое показательных уравнения ax=b решают логарифмированием x=log[a](b).
При решении показательных уравнений используют свойство показателей: если в уравнение степени с одной и той же основой то равные показатели степени или основание равно единице.Из равенства следует или .
Некоторые уравнения требуют замены переменной и сводится к решению степенного уравнения. Например уравнения легко сводится к квадратному если сделать заменуПри этом исходное уравнение примет видПосле его решения нужно вернуться к замене и решить полученное уравнение.Если показательной уравнение содержит две различные показательные функции ( основы не сводятся к одной) , то выполняют деления уравнения на одну из основ в соответствующей степени и переход до показательного уравнения которое содержит функцию с дробной основой.Находя решения показательных уравнений следует помнить что показательная функция принимает только положительные значения. Отрицательные значения или нули замененной переменной не принимаются к рассмотрению.
На этом необходимый теоретический материал заканчивается и переходим к рассмотрению распространенных примеров.
Пример 1.Решить показательное уравнение
Решение. Перепишем уравнение к следующему видуВторое слагаемое распишем как произведениеи сделаем замену в уравненииИсходное уравнение преобразуем к следующемуОбластью допустимых значений будет действительная ось за исключением точки y=0.Умножим его на y и переносим все в левую сторонуПолучили квадратное уравнение корни которого находим по теореме Виета. Нетрудно убедиться что они принимают значенияВозвращаемся к замене и находим решенияВыполняем проверкуИтак оба решения удовлетворяют уравнению.
Пример 2. Решить показательное уравнение
Решение. Используя одну из свойств логарифма записываем правую сторону уравнения в видеПриравнивая показатели находим
Пример 3. Решить уравнение
Решение. Такого сорта примеры решают логарифмированием обеих сторон что приводит к сведению показательного уравнения к простому виду.Полученное уравнение относительно переменной решаем через дискриминантКорни уравнения приобретут значенияДругого метода позволяющего аналитически получить решения Вы не найдете ни в интернете, ни на форумах.
Пример 4. Решить уравнение
Решение. Выполним некоторые преобразования с показателями чтобы упростить уравнение Эквивалентные значения подставим в уравнение, в результате получимВыполняем заменуУравнение превратится к квадратномуВычисляем дискриминантНайденное значение подставляем в формулу корней Возвращаемся к замене и находимЗадача решена.
Пример 5.Решить уравнение
Решение. Такого типа уравнения решают с постоянной основой . За основу классически берут 10 , однако , если взять другую (для данного примера 5 или 9 ) то решение примет компактный видРассмотрим оба метода. 1. Прологарифмируем обе части равенстваРаскрываем скобки и группируем слагаемые при неизвестныхТакой интересный результат.
2. Прологарифмируем обе части равенства по основанию 9Группируя слагаемые содержащие переменную получимОба метода достаточно быстрые и эффективные, для себя выбирайте который Вам больше подходит.
Пример 6.Решить уравнение
Решение.Такого рода задачи решают по следующей схеме. Показательное уравнения превращают к видуВсе слагаемые разделяем на величину чтобы свести к дробному видуПосле этого выполняем заменуУравнение переписываем в видеУмножаем на переменную и решаем квадратное уравнениеДискриминант принимает нулевое значение, при етом корни уравнения совпадаютВозвращаемся к замене и решаемИтак x=2 - единственное решение.Используйте приведенную схему в подобных задач и гарантированно получите верный результат.
Пример 7. Решить уравнение
Решение. На первый взгляд уравнения достаточно сложное и неизвестно как его упрощать, однако схема решения данного примера и подобных довольно проста и интересна. Выполним над уравнением преобразованияНужно это уравнение преобразовать к квадратномуВыполним заменуи перепишем уравнение в виде следуещогоВычисляем дискриминанти корни уравненияВозвращаемся к совершенной заменеТакое уравнение сводим к квадратному, выполнив заменуВ результате получимРешаем через дискриминант Возвращаемся к замене и определяем переменную xВторое значение рассматривать не будем, поскольку оно отрицательное, а показательная функция всюду положительная.Решаем вторую половину задачиИспользуя предыдущую замену получимДискриминант примет значение Находим корни уравнения Первый корень имеет место бить, второй - отрицательный и не подходит.Получили два решения показательного уравненияХорошо разберитесь с приведенными методами решения показательных уравнений, возможно некоторые из них пригодятся при прохождении ВНО, экзамене или контрольной работе. Будьте внимательны при упрощении, первое время используйте подстановку для проверки результатов.
Похожие материалы:
yukhym.com
Степень уравнения
Кроме разделения уравнений по количеству неизвестных, уравнения так же разделяются по степеням неизвестных: уравнения первой степени, уравнения второй степени и так далее.
Чтобы определить степень данного уравнения, в нём нужно предварительно сделать следующие преобразования:
- раскрыть скобки,
- освободить уравнение от дробных членов,
- перенести все неизвестные члены в одну из частей уравнения,
- сделать приведение подобных членов.
После выполнения всех этих преобразований, степень уравнения определяется по следующим правилам:
Степенью уравнения с одним неизвестным называется показатель при неизвестном в том члене уравнения, в котором этот показатель наибольший.
Примеры:
10 - x = 2 – уравнение первой степени с одним неизвестнымx2 + 7x = 16 – уравнение второй степени с одним неизвестнымx3 = 8 – уравнение третьей степени с одним неизвестным
Степенью уравнения с несколькими неизвестными называется сумма показателей при неизвестных в том члене уравнения, в котором эта сумма наибольшая.
Для примера возьмём уравнение
3x2y + xy + 25 = 0
Для наглядности расставим показатели первой степени (которые обычно не ставят):
3x2y1 + x1y1 + 251 = 0
Теперь посчитаем суммы показателей для тех членов уравнения, в которых присутствуют неизвестные:
3x2y1 – сумма показателей равна 2 + 1 = 3x1y1 – сумма показателей равна 1 + 1 = 2
Сумма показателей у первого члена уравнения больше чем у второго, значит при определении степени уравнения будем ориентироваться на сумму показателей первого члена. Это значит что про данное уравнение можно сказать, что это уравнение третьей степени с двумя неизвестными.
Ещё примеры:
2xy - x = 25 – уравнение второй степени с двумя неизвестнымxy2 - 2xy + 8y = 0 – уравнение третьей степени с двумя неизвестным
naobumium.info
Методы решения уравнений высших степеней
Методы решения уравнений высших степеней.
I) Решение уравнений с помощью деления в столбик.
Очевидно - корень уравнения
Очевидно - корень уравнения
Ответ: -5;2;3;4
II) Возвратные уравнения и к ним сводящиеся.
Уравнение называется возвратным, если в нем коэффициенты равноудаленные от концов совпадают, т.е. ,,
1) Возвратные уравнения четной степени.
т.к. - не является корнем уравнения, то разделим обе части уравнения на.
Введем замену.
Пусть ,, получим
;
Вернемся к замене.
или
корней нет
Ответ:
2) Возвратные уравнения нечетной степени.
Любое возвратное уравнение нечетной степени сводится к квадратному уравнению четной степени, т.к у любого возвратного ур–ия нечетной степени один из корней всегда равен –1
Очевидно - корень уравнения.
или
т.к - не является корнем уравнения, то разделим обе части
уравнения на
Введем замену.
Пусть ,,, получим
илиили
корней нет
Ответ: ,,
III) Уравнения вида, гдерешаются как возвратные.
IV) Замена переменных по явным признакам.
V) В следующих уравнениях используется “идея однородности”.
Пример №1
Введем замену.
Пусть ,, тогда
1) если , тогда, тогда
решений нет
2) Разделим обе части уравнения на , получим
Решим последнее уравнение, как квадратное относительно , получим
;
;
Вернемся к замене.
или
корней нет
Ответ:
Пример №2.
Пусть ,, тогда
Найдем
Составим систему:
Решая систему подстановкой, получим
или
корней нет ;
Ответ: ;
Пример №3.
- не является корнем уравнения
Разделим обе части уравнения на , получим
Введем замену.
Пусть , тогда
;
или
;;
Ответ: ;;;
VI) Уравнения вида, гдеэффективно решать перемножениеми, а затем делать замену.
VII) В уравнениях вида и в уравнениях к ним сводящимся, в знаменателях обоих дробей необходимо вынести х за скобки и сделать замену.
(1)
(2)
При переходе область определения уравнения сузилась на. Проверим, является ликорнем уравнения. Не является.
Введем замену.
Пусть ,, тогда
;
или
Ответ: ;
VIII) В уравнениях вида обе части уравнения делятся на
- не является корнем уравнения. Разделим на, получим
Введем замену.
Пусть ;, тогда
;
или
Ответ: ;
IX) Выделение полного квадрата.
Введем замену.
Пусть , тогда
;
Вернемся к замене.
или
корней нет
Ответ:
X) Решение уравнений с помощью формулы
или
корней нет
XI) Уравнения вида и к ним сводящиеся решаются при помощи замены
Введем замену.
Пусть , тогда
иликорней нет
;
Вернемся к замене.
или
Ответ: ;
XII) Решение уравнений относительно коэффициентов.
или
;- посторонний корень
корней нет
Ответ: ;
XIII) Метод разложения на простейшие дроби.
Ответ:
studfiles.net