ГлавнаяРазноеКак найти 2 производную

Как найти производную. Таблица производных. Как найти 2 производную


Производная онлайн с подробным решением

Калькулятор решает производные c описанием действий ПОДРОБНО бесплатно!

Это он-лайн сервис в один шаг:

Перейти: Онлайн сервис "Производная функции" →

Это он-лайн сервис в один шаг: Перейти: Онлайн сервис "Частная производная функции" → Это он-лайн сервис в два шага: Перейти: Онлайн сервис "Вторая производная функции" → Это он-лайн сервис в три шага: Перейти: Онлайн сервис "Третья производная функции" →

Введите функцию, заданную в неявном виде, вы получите соответствующую производную

Это он-лайн сервис в три шага:

Перейти: Онлайн сервис "Производной параметрической функции" →

Производная сложной функции

Производную сложной функции онлайн вы сможете вычислить с помощью калькулятора производных здесь

Таблица производных

Вы также можете воспользоваться таблицей производных, чтобы самостоятельно вычислить любую производную, перейти:

www.kontrolnaya-rabota.ru

Найти производную: алгоритм и примеры решений

Операция отыскания производной называется дифференцированием.

В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).

Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм.

Чтобы найти производную, надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного - в правилах дифференцирования. Таблица производных и правила дифференцирования даны после первых двух примеров.

Пример 1. Найти производную функции

.

Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.

.

Из таблицы производных выясняем, что производная "икса" равна единице, а производная синуса - косинусу. Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:

.

Пример 2. Найти производную функции

.

Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:

Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования. К ним мы и переходим прямо сейчас.

Правило 1. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции

причём

                          

т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны, т.е.

                              

Правило 2. Если функции

и

дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение

причём

                     

т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой. 

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

                          

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.

Например, для трёх множителей:

                     

Правило 3. Если функции

и

дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём

                  

т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.

Где что искать на других страницах

При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные - в статье "Производная произведения и частного функций".

Здесь же (далее) - более простые примеры на производную произведения и частного, на которых Вы увереннее освоите алгоритмы вычислений.

Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.

А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое u'v, в котором u - число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).

Другая частая ошибка - механическое решение производной сложной функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.

По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.

Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями, то есть, когда функция имеет вид вроде , то следуйте на занятие "Производная суммы дробей со степенями и корнями".

Если же перед Вами задача вроде , то Вам на занятие "Производные простых тригонометрических функций".

Получить в PDF методичку-решебник с 33 примерами решений Найти производную: алгоритм на примере простых элементарных функций, БЕСПЛАТНО

Пример 3. Найти производную функции

.

Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители - суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:

Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная которой равна нулю. Итак, "икс" у нас превращается в единицу, а минус 5 - в ноль. Во втором выражении "икс" умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как производную "икса". Получаем следующие значения производных:

Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем требуемую условием задачи производную всей функции:

Пример 4. Найти производную функции

Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного: производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:

Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также, что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:

Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, , то добро пожаловать на занятие "Производная суммы дробей со степенями и корнями".

Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде , то Вам на урок "Производные простых тригонометрических функций".

Получить в PDF методичку-решебник с 33 примерами решений Найти производную: алгоритм на примере простых элементарных функций, БЕСПЛАТНО

Пример 5. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых - квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Пример 6. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим частное, делимое которого - квадратный корень из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на :

Пример 9. Найти производную функции

.

Решение. Применяя правила вычисления производной алгебраической суммы функций, вынесения постоянного множителя за знак производной и формулу производной степени (в таблице производных - под номером 3), получим

.

Пример 10. Найти производную функции

Решение. Применим правило дифференцирования произведения, а затем найдём производные сомножителей, так же, как в предыдущей задаче, пользуясь формулой 3 из таблицы производных. Тогда получим

Пример 11. Найти производную функции

Решение. Как и в примерах 4 и 6, применим правило дифференцирования частного:

Теперь вычислим производные в числителе и перед нами уже требуемый результат:

Пример 12.Найти производную функции

Шаг1. Применяем правило дифференцирования суммы:

Шаг2. Найдём производную первого слагаемого. Это табличная производная квадратного корня (в таблице производных - номер 5):

Шаг3. В частном знаменатель - также корень, только не квадратный. Поэтому преобразуем этот корень в степень:

и далее дифференцируем частное, не забывая, что число 2 в первом слагаемом числителя - это константа, производная которой равна нулю, и, следовательно всё первое слагаемое равно нулю:

Корень из константы, как не трудно догадаться, является также константой, а производная константы, как мы знаем из таблицы производных, равна нулю:

,

а производная, требуемая в условии задачи:

Получить в PDF методичку-решебник с 33 примерами решений Найти производную: алгоритм на примере простых элементарных функций, БЕСПЛАТНО

Напоминаем, что чуть более сложные примеры на производную произведения и частного - в статьях "Производная произведения и частного функций" и "Производная суммы дробей со степенями и корнями".

Также настоятельно рекомендуем изучить производную сложной функции.

Поделиться с друзьями

Весь блок "Производная"

function-x.ru

Как найти производную функции, примеры решения

Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием. Производную приходится находить в ряде задач курса математического анализа. Например, при отыскании точек экстремума и перегиба графика функции.

Как найти?

Чтобы найти производную функции нужно знать таблицу производных элементарных функций и применять основные правила дифференцирования:

  1. Вынос константы за знак производной:
  2. Производная суммы/разности функций:
  3. Производная произведения двух функций:
  4. Производная дроби:
  5. Производная сложной функции:

Примеры решения

Пример 1
Найти производную функции
Решение

Производная суммы/разности функций равна сумме/разности производных:

Используя правило производной степенной функции имеем:

Так же было учтено, что производная от константы равна нулю.
Ответ
Пример 2
Найти производную функции
Решение

По правилу производной разности:

По таблице интегрирования находим:

С учетом того, что аргумент натурального логарифма отличен от , то нужно домножить ещё на производную самого аргумента:

После упрощения получаем:
Ответ
Пример 3
Найти производную функции
Решение

В данном примере стоит произведение двух функций, а производная произведения находится по формуле номер 3:

Производная первой функции вычисляется как разность фунций:

Вторая функция является показательной, производная которой находится по формуле: :

Продолжаем решение с учетом найденных производных:
Ответ
Пример 4
Найти производную функции
Решение

Производную дроби найдем по четвертой формуле. Положим и . Тогда их производные по таблице основных элементарных функций равны:

Используя формулу №4 получаем:

Выносим множитель в числителе за скобку:
Ответ
Пример 5
Найти производную функции
Решение

Данная функция является сложной, потому производную будем брать по цепочке. Сначала от внешней функции, затем от внутренней. При этом выполняя их перемножение.

Заметим, что аргумент синуса отличен от , поэтому тоже является сложной функцией:

Учитывая определение котангенса перепишем полученную производную в удобном компактном виде:
Ответ

xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai

Частные производные второго порядка, теория и примеры

Если задана функция u = f(x, y, z) и вычислены ее частные производные \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y} и \frac{\partial u}{\partial z} , то они в свою очередь также являются функциями независимых переменных x, y и z , а поэтому от каждой из них можно найти производную по каждой из переменных.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Если найти частную производную по переменной x от частной производной первого порядка \frac{\partial u}{\partial x} , то получаем частную производную второго порядка от функции u , которую взято два раза по переменной x . Это производная обознается как:

    \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = u''_{xx} \]

Итак,

    \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right) \]

Если взять частную производную по переменной y от производной \frac{\partial u}{\partial x} , то получим частную производную второго порядка функции u, которую взято вначале по переменной x , а потом – по переменной y . Такая производная называется смешанной производной и обозначается

    \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = u''_{xy} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right) \]

Аналогично, частная производная по переменной x от первой производной \frac{\partial u}{\partial y} по переменной y дает вторую смешанную частную производную функции u , вычисленную вначале по переменной y , а потом – по переменной x . Она обозначается символом

    \[ \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} = u''_{yx} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial u}{\partial y} \right) \]

ТЕОРЕМА Смешанные производные, если они непрерывны, не зависят от порядка дифференцирования, то есть

    \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} \]

Частная производная по переменной y от производной первого порядка \frac{\partial u}{\partial y} есть второй частной производной от функции u по переменной y . Ее обозначают следующим образом:

    \[ \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = u''_{yy} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial u}{\partial y} \right) \]

Подобным образом задаются производные более высокого порядка, чем второй. Например, выражение \frac{\partial^3 u}{\partial x^3} = u'''_{xxx} определяет производную третьего порядка функции u = f(x, y, z) найденную три раза по переменной x . Аналогично \frac{\partial^3 u}{\partial x^2 \partial y} – смешанная производная третьего порядка, взятая два раза по переменной x и от полученной производной \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} найдена один раз производная по переменной y .

ПРИМЕР
Задание Найти все частные производные второго порядка функции u = x^4 + 3x^3y - 4x^2 y^2 z - y^4 + z
Решение Чтобы найти производные второго порядка, вначале вычислим частные производные первого порядка:

    \[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left(x^4 + 3x^3y - 4x^2y^2z - y^4 + z \right) = 4x^3 + 3y \cdot 3x^2 - 4y^2z \cdot 2x - 0 + 0 = 4x^3 + 9x^2 y - 8xy^2 z; \]

    \[ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left(x^4 + 3x^3y - 4x^2y^2z - y^4 + z \right) = 0+ 3x^3 \cdot 1 - 4x^2z \cdot 2y - 4y^3 + 0 = 3x^3 - 8x^2yz - 4y^3 \]

    \[ \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} \left(x^4 + 3x^3y - 4x^2y^2z - y^4 + z \right) = 0 + 0 - 4x^2y^2 \cdot 1 - 0 + 1 = 1 - 4x^2y^2 \]

Переходим к нахождению частных производных второго порядка. Для нахождения второй производной \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} продифференцируем выражение \frac{\partial u}{\partial x} по переменной x :

    \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\partial u}{\partial x} \right) = \frac{\partial}{\partial x} \left( 4x^3 + 9x^2 y - 8xy^2 z \right) = 12x^2 + 18 xy - 8y^2z \]

Аналогично

    \[ \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial u}{\partial y} \right) = \frac{\partial}{\partial y} \left( 3x^3 - 8x^2yz - 4y^3 \right) = -8x^2z - 12y^2 \]

    \[ \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{\partial u}{\partial z} \right) = \frac{\partial}{\partial z} \left( 1 - 4x^2y^2 \right) = 0 \]

Смешанные производные:

    \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{\partial u}{\partial x} \right) = \frac{\partial}{\partial y} \left( 4x^3 + 9x^2 y - 8xy^2 z \right) = 9x^2 - 16xyz \]

    \[ \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial u}{\partial y} \right) = \frac{\partial}{\partial x} \left( 3x^3 - 8x^2yz - 4y^3 \right) = 9x^2 - 16xyz \]

Получили, что \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} .

Таким же образом находим оставшиеся смешанные производные:

    \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial z} = \frac{\partial}{\partial z} \left(\frac{\partial u}{\partial x} \right) = \frac{\partial}{\partial z} \left( 4x^3 + 9x^2 y - 8xy^2 z \right) = -8xy^2 \]

    \[ \frac{\partial^2 u}{\partial z \partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial u}{\partial z} \right) = \frac{\partial}{\partial x} \left( 1 - 4x^2y^2 \right) = -8xy^2 \]

Проверка: \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial z} = \frac{\partial^2 u}{\partial z \partial x} . Аналогично

    \[ \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial z} = \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{\partial u}{\partial y} \right) = \frac{\partial}{\partial z} \left( 3x^3 - 8x^2yz - 4y^3 \right) = -8x^2y \]

    \[ \frac{\partial^2 u}{\partial z \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial u}{\partial z} \right) = \frac{\partial}{\partial y} \left( 1 - 4x^2y^2 \right) = -8x^2y \]

и равенство \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial z} = \frac{\partial^2 u}{\partial z \partial y} выполняется.
Ответ

ru.solverbook.com

Как найти производную. Таблица производных.

Как мы знаем,

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

{f}prime(x)= lim{Delta{x}right{0}}{{Delta{f}}/{Delta{x}}}

Математический смысл этого определения понять не очень просто, поскольку в школьном курсе алгебры понятие предела функции либо не изучают совсем, либо изучают очень поверхностно.  Но для того, чтобы научиться находить производные различных функций, это и не обязательно.

Тем, кто все же хочет понять, что такое предел числовой последовательности, я предлагаю посмотреть ВИДЕОУРОК:

 

 

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. В результате выполнения этой операции мы по определенным правилам  получаем  другую функцию:

{ f} prime(x)=g(x)

В этом равенстве f(x) - функция, от которой мы берем производную,

g(x) - функция, которая получается в результате этой операции.

Для того, чтобы каждый раз не искать производные элементарных функций, используя определение  производной, существует таблица производных  элементарных функций:

1. Производная константы равна нулю:

{(C)}prime=0

2. Производная степенной функции:

{(x^n)}prime=nx^{n-1}

Заметим, что n может принимать любые действительные значения.

Примеры.

1. {(x^5)}prime=5x^4

2. {(1/{x^4})}prime={(x^{-4})}prime=-4x^{-4-1}=-4x^{-5}

3. {(1/{root{3}{x}})}prime={(x^{-1/3})}prime={-1/3}x^{{-1/3}-1}=-{x^{-4/3}}/3

3. Производная показательной функции:

{(a^x)}prime={a^x}ln{a}

Пример.

{(3^x)}prime={3^x}ln{3}

Частный случай этой формулы:

{(e^x)}prime={e^x}

4. Производная логарифма:

{(log_{a}x)}prime=1/{xlna}

Частный случай этой формулы:

{(ln{x})}prime=1/x

5. Производные тригонометрических функций:

{(sinx)}prime=cosx

{(cosx)}prime=-sinx

{(tgx)}prime=1/{cos^2{x}}

{(ctgx)}prime=-1/{sin^2{x}}

6. Производные обратных тригонометрических функций:

{(arcsinx)}prime=1/{sqrt{1-x^2}}

{(arccosx)}prime=-1/{sqrt{1-x^2}}

{(arctgx)}prime=1/{1+x^2}

{(arcctgx)}prime=-1/{1+x^2}

 

Правила дифференцирования:

1. Производная суммы двух функций:

{(u+v)}prime={u}prime+{v}prime

2. Производная произведения двух функций:

{(uv)}prime={u}prime{v}+{v}prime{u}

3. Производная дроби:

{(u/v)}prime={{u}prime{v}-{v}prime{u}}/{v^2}

4. Производная произведения функции на число равна произведению числа на производную функции (число "выносится" за знак производной):

{(Cf(x))}prime=C{(f(x))}prime

Чтобы правильно найти производную функции f(x), полезно придерживаться такого алгоритма:

1. Выделите, какие элементарные функции входят в состав уравнения функции.

2. Отделите  в явном виде коэффициенты.

3. Если возможно, упростите выражение f(x), используя свойства степени, свойства логарифмов или тригонометрические формулы в зависимости от того, какие элементарные функции входят в состав функции f(x)

4. Вспомните, чему равны производные  этих функций или посмотрите в таблице производных.

5. Обратите внимание на то, какими арифметическими действиями связаны между собой элементарные функции, которые входят в состав функции f(x) и вспомните правило, по которому находится производная суммы, разности, произведения или частного двух функций.

Пример 1. Найти производную функции:

f(x)=log_{2}{x^4},~~x>0

Используя свойства логарифмов, упростим выражение в правой части уравнения функции:

log_{2}{x^4}=4log_{2}{delim{|}{x}{|}}

Так как по условию x>0, следовательно, {delim{|}{x}{|}}=x

Таким образом:

{(f(x))}prime={(4log_{2}{x})}prime=4/{xln{2}}

Пример 2. Найти производную функции:

f(x)= 1/{sqrt{x}}+{x^2}/{root{3}{x}}+x/{{root{4}{x}}}

1. Упростим каждую дробь, используя свойства степени :

f(x)= {1/{sqrt{x}}+{x^2}/{root{3}{x}}+x/{root{4}{x}}}= 1/{ x^{1/2}}+{x^2}/{ x^{1/3}}+x/{ x^{1/4}} =  x^{-1/2}+ x^{2-{1/3}}+ x^{1-{1/4}}=x^{-1/2}+x^{5/3}+x^{3/4}

Мы видим, что наша функция представляет собой сумму степенных функций.

Следовательно:

{(f(x))}prime={(x^{-1/2})}prime+{(x^{5/3})}prime+{(x^{3/4})}prime=-{1/2}x^{-{1/2}-1}+{5/3}x^{{5/3}-1}+{3/4}x^{{3/4}-1}=-{1/2}x^{-{3/2}}+{5/3}x^{2/3}+{3/4}x^{-{1/4}}

Пример 3. Найти производную функции

y=x^2+1/{3x^2}-2/{5x^3}

Сначала запишем каждое слагаемое в виде степени  xи выделим в явном виде числовые коэффициенты:

y=x^2+{1/3}*x^{-2}-{2/5}*x^{-3}

Теперь легко найти производную:

{y}prime={(x^2)}prime+{1/3}*{(x^{-2})}prime-{2/5}*{(x^{-3})}prime=2x+{1/3}*{(-2x^{-3})}-{2/5}*{({-3}x^{-4})}=2x-{2/3}x^{-3}+{6/5}x^{-4}

Пример 4. Найти производную функции:

f(x)={2^x}/{{cos}{x}+1}

Мы видим, что наша функция представляет собой дробь, в числителе которой стоит степенная функция, а в знаменателе сумма косинуса и константы.

Найдем производную функции f(x)  по формуле производной дроби:

(u/v){prime}={u{prime}v-v{prime}u}/{v^2}

В нашем случае:

u=2^x;~~u{prime}=2^x{ln{2}}

v={cos}{x}+1;~~v{prime}=-sin{x}

Отсюда:

{(f(x))}{prime}= {({2^x}/{{cos}{x}+1})}prime={{(2^x)}prime({cos}{x}+1)-{2^x}{({cos}{x}+1)}prime}/{{({cos}{x}+1)}^2}={{(2^x)}ln{2}({cos}{x}+1)-{2^x}({-sin{x}})}/{{({cos}{x}+1)}^2}

КАК ИСКАТЬ ПРОИЗВОДНУЮ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ читайте здесь

Видеоурок "Производная сложной функции" смотрите здесь.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Производная первого порядка, все формулы и примеры

Производная первого порядка функции y = f(x) , заданной явно, находится с помощью таблицы производных

а также правил дифференцирования (нахождения производных):

  1. Константу можно выносить за знак производной:

        \[ (c \cdot u(x))' = c \cdot (u(x))' ; \]

  2. Производная суммы/разности:

        \[ (u \pm v)' = u' \pm v' \]

  3. Производная произведения:

        \[ (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' \]

  4. Производная частного двух функций:

        \[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]

ПРИМЕР
Задание Найти производную функции, заданной явно

    \[ y = x^2 - 3x + \frac{x}{x + 1} \]
Решение Искомая производная

    \[ y' = \left( x^2 - 3x + \frac{x}{x+1} \right)' \]

Производная суммы/разности функций равна сумме/разности их производных, то есть:

    \[ y' = \left( x^2 \right)' - (3x)' + \left( \frac{x}{x+1} \right)' \]

Производную первого слагаемого находим по таблице производных как производную степенной функции \left( x^n \right)' = nx^{n-1} , тогда

    \[ \left( x^2 \right)' = 2x^{2 - 1} = 2x \]

Во втором слагаемом, согласно свойствам производных, вначале вынесем константу 3 за знак производной:

    \[ (3x)' = 3 \cdot (x)' \]

А затем производную найдем по выше предложенной формуле производной степенной функции:

    \[ (3x)' = 3 \cdot (x)' = 3 \cdot \left( x^1 \right)' = 3 \cdot 1 \cdot x^{1-1} = 3 \cdot x^0 = 3 \cdot 1 = 3 \]

Производную третьего слагаемого находим как производную частного по формуле \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - vu'}{v^2} \right) . Для u = x , v = x+1 будем иметь:

    \[ \left( \frac{x}{x + 1} \right)' = \frac{(x)' \cdot (x + 1) - x \cdot (x +1)'}{(x + 1)^2} = \frac{1 \cdot (x + 1) - x \cdot \left[ (x)' + (1)' \right]}{(x + 1)^2} = \]

    \[ = \frac{x + 1 - x \cdot (1 + 0)}{(x + 1)^2} = \frac{x + 1 - x}{(x + 1)^2} = \frac{1}{(x +1)^2} \]

А таким образом, для заданной функции имеем:

    \[ y' = 2x - 3 + \frac{1}{(x+1)^2} \]
Ответ

Производная первого порядка параметрической функции

В случае если функция y = y(x) задана параметрически в виде \begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases} ,\text{ }t – параметр, то первая производная такой функции находится по формуле:

    \[ y'(x) = \frac{y'_t}{x'_t} \]

Производная первого порядка неявной функции

Если функция y = y(x) задана неявно равнение F(x ; y(x)) = 0 или F(x ; y(x)) = G(x ; y(x)) , то для нахождения первой производной y = y'(x) поступают следующим образом:

  1. дифференцируют левую и правую части заданного равенства:

        \[ (F(x ; y(x)))' = (0)' \]

    или

        \[ (F(x ; y(x)))' = (G(x ; y(x)))' ; \]

  2. находят производные от каждой из частей равенства, используя таблицу производных и правила дифференцирования, а также учитывают, что y – сложная функция;
  3. из полученного равенства выражают y' .
Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Правила нахождения производных, формулы и примеры

Рассмотрим функции u = u(x) и v = v(x) , которые являются дифференцируемыми в точке x (то есть имеют производную в этой точке). Тогда для нахождения производных используют следующие правила.

1. Производная (c \cdot u(x))' произведения константы c на некоторую функцию u(x) равна произведению этой константы на производную от заданной функции, то есть константа выносится за знак производной:

    \[ (c \cdot u(x))' = c \cdot (u(x))' \]

2. Производная суммы/разности двух функций равна сумме/разности производных от каждой их них:

    \[ (u \pm v)' = (u)' \pm (v)' \]

Замечание. Это свойство справедливо и для большего, чем два, числа функций.

Замечание. Первые два правила можно объединить в одно свойство линейности:

    \[ (c_1 f_1 \pm c_2 f_2 \pm \ldots \pm c_n f_n)' = c_1 \cdot (f_1)' \pm c_2 \cdot (f_2)' \pm \ldots \pm c_n \cdot (f_n)' \]

3. Производная произведения двух функций равна сумме произведений производной первой функции на вторую и первой функции на производную второй:

    \[ (u \cdot v)' = (u)' \cdot v + u \cdot (v)' \]

4. Производная частного двух функций равна отношению разности произведений производной числителя на знаменатель и числителя на производную знаменателя и квадрата исходного знаменателя, то есть

    \[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com