Как найти площадь поверхности треугольной призмы. Как найти высоту треугольной призмы
Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник, найдите высоту
Формулировка задачи: Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами K и M. Площадь ее поверхности равна S. Найдите высоту призмы.
Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 13 (Задачи по стереометрии).
Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примере и выведем общий способ решения.
Пример задачи:
Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Площадь ее поверхности равна 288. Найдите высоту призмы.
Решение:
Площадь поверхности прямой треугольной призмы равна сумме 2 площадей основания и площади боковой поверхности призмы:
Sпризмы = Sбок.пов + 2Sосн
Площадь основания равна площади прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:
Sосн = 1/2 ⋅ 6 ⋅ 8 = 24
Найдем площадь боковой поверхности призмы, вычтя из площади полной поверхности призмы 2 площади основания:
Sбок.пов = Sпризмы – 2Sосн = 288 – 2 ⋅ 24 = 288 – 48 = 240
Площадь боковой поверхности прямой треугольной призмы равна периметру основания, умноженному на высоту. Чтобы найти высоту призмы, нужно вычислить периметр основания. Катеты прямоугольного треугольника, лежащего в основании, известны, осталось найти его гипотенузу по теореме Пифагора:
Тогда высота прямой треугольной призмы равна:
Sбок.пов / (6 + 8 + 10) = 240 / 24 = 10
Ответ: 10
В общем виде решение данной задачи по стереометрии выглядит следующим образом:
Sосн = 1/2 ⋅ K ⋅ M
Sбок.пов = S – 2Sосн
ВЫСОТА ПРИЗМЫ = Sбок.пов / (K + M + √K2 + M2) = (S – K ⋅ M) / (K + M + √K2 + M2)
где K и M – катеты прямоугольного треугольника, лежащего в основании прямой треугольной призмы, S – площадь поверхности призмы.
Остается лишь подставить значения и вычислить результат.
worksbase.ru
Как найти высоту четырёхугольной призмы
Призмой называют объемную фигуру, составленную из некоторого количества прямоугольных боковых граней и двух параллельных друг другу оснований. Основания могут иметь форму любого многоугольника, включая и четырехугольник. Высотой этой фигуры называют перпендикулярный основаниям отрезок между плоскостями, в которых они лежат. Его длина в общем случае определяется углом наклона боковых граней к основаниям призмы.Инструкция
- Если в условиях задачи приведен объем (V) пространства, ограниченного гранями призмы, и площадь ее основания (s), для вычисления высоты (H) используйте формулу, общую для призм с основанием любой геометрической формы. Разделите объем на площадь основания: H=V/s. Например, при объеме в 1200 см³ и площади основания, равной 150 см², высота призмы должна быть равна 1200/150=8 см.
- Если четырехугольник, лежащий в основании призмы, имеет форму какой-либо правильной фигуры, вместо площади в вычислениях можно использовать длины ребер призмы. Например, при квадратном основании площадь в формуле предыдущего шага замените второй степенью длины его ребра (a):H=V/a². А в случае прямоугольника в ту же формулу подставьте произведение длин двух смежных ребер основания (a и b):H=V/(a*b).
- Для вычисления высоты (H) правильной четырехугольной призмы может оказаться достаточным знания полной площади поверхности (S) и длины одного ребра основания (a). Так как общая площадь складывается из площадей двух оснований и четырех боковых граней, а в таком многограннике основанием является квадрат, площадь одной боковой поверхности должна быть равна (S-a²)/4. Эта грань имеет два общих ребра с квадратными основаниями известного размера, значит, для вычисления длины другого ребра разделите полученную площадь на сторону квадрата: (S-a²)/(4*a). Так как рассматриваемая призма является прямоугольной, то ребро вычисленной вами длины примыкает к основаниям под углом 90°, т.е. совпадает с высотой многогранника: H=(S-a²)/(4*a).
- В правильной четырехугольной призме для вычисления высоты (H) достаточно знания длины диагонали (L) и одного ребра основания (a). Рассмотрите треугольник, образуемый этой диагональю, диагональю квадратного основания и одним из боковых ребер. Ребро здесь - неизвестная величина, совпадающая с искомой высотой, а диагональ квадрата, основываясь на теореме Пифагора, равна произведению длины стороны на корень из двойки. В соответствии с той же теоремой выразите искомую величину (катет) через длины диагонали призмы (гипотенузы) и диагонали основания (второй катет): H=√(L²-(a*V2)²)=√(L²-2*a²).
completerepair.ru
Треугольная призма. Правильная треугольная призма вершины. Основание правильной треугольной призмы. Боковые грани правильной треугольной призмы
Призма представляет собой многогранник - трехмерную геометрическую фигура с плоскими гранями и прямыми ребрами, которые имеет одинаковую форму поперечного сечения по всей длине и ограниченной на каждом конце двумя равными и параллельными многоугольниками. Остальные грани призмы (боковые грани) являются параллелограммами. Треугольная призма показана ниже:
Если количество сторон одного из могоугольников в основании призмы равно \(n\), то призма будет иметь \(N + 2\) грани, \(3n\) ребер и \(2n\) вершин.
Треугольная призма
Также вы можете встретить правильную призма, то есть все базовые грани в основании призмы являются правильными многоугольниками. Из этого следует, что все боковые грани неправильной призмы не будут иметь одинаковые размеры.
Регулярная шестиугольная призма (слева) и неправильная призма (справа)
Возникает интересный вопрос о том, можно ли иметь цилиндрическую призму. Если боковые грани цилиндра оба равны и параллельны, то сечение, безусловно, соответствуют требованиям призмы. Точка прилипания находится над требованием, что базовые грани призмы должны быть многоугольниками. Поскольку базовая грань цилиндра должна быть либо кругом, либо эллипсом, часто утверждается, что цилиндр не может быть призмой, потому что ни круг, ни эллипс не являются многоугольником. С другой стороны, можно также утверждать, что, поскольку теоретически нет предела количеству сторон, которые может иметь многоугольник, круг (или эллипс) - это просто многоугольник с бесконечным числом сторон.
Как найти объем призмы. Для правильной призмы найти объем относительно просто. Все, что нам нужно сделать, это умножить площадь одной базовой грани призмы на длину призмы. Здесь полезно думать о призме как о стоящей на одной из ее базовых граней. Длина призмы это высота \(h\). Поэтому мы можем написать формулу для нахождения объема \(V\) призмы как:
\(V = S_{осн}h\)
Это также работает для косой, смещенной призмы, если мы рассматриваем высоту как перпендикулярное расстояние между двумя базовыми гранями.
Высота призмы - это перпендикулярное расстояние между ее гранями в основании.
Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы "Альфа". Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!
Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!
myalfaschool.ru
Какая формула объема треугольнй призмы?
V=S основания * l
Объем призмы <br><br>Объем призмы ранен V = Sоснов • H. где Sоснов — площадь основания призмы. H — ее высота. <br><br>Исходим из известного факта: объем параллелепипеда, равен <br><br>Vпар = Sоснов • H<br><br>(Sоснов - площадь основания, H — высота). <br><br>Начнем с частного случая. Пусть нам дана треугольная призма.<br><br>Достроим ее до параллелепипеда. Следовательно, параллелепипед состоит из двух равных призм, поэтому<br><br>С другой стороны, <br><br>а высота призмы и параллелепипеда общая. Из равенства <br><br>следует, что <br><br>Переходим теперь к общему случаю. Дана произвольная призма. В ее основании лежит многоугольник. Проведя в нем диагонали, исходящие, из одной вершины, разбиваем многоугольник на треугольники (рис. 39). Сечения, проведенные через эти диагонали и соответствующие боковые ребра призмы делят ее на определенное число n треугольных призм. Для призмы с номером k объем равен <br><br>Vk = Sk • H<br><br>где Sk — площадь ее основания, H — высота первоначальной призмы. Складывая объем треугольных призм, получаем объем первоначальной призмы: <br><br>Формула установлена. <br><br>
Площадь основания * высоту
touch.otvet.mail.ru
Как найти площадь поверхности треугольной призмы
Как вычислить площадь поверхности прямой треугольной призмы
Как вычислить площадь поверхности прямой треугольной призмы? Для этого лучше всего представить себе треугольную призму во всей её красе. Как выглядит треугольная призма?
Теперь следующий вопрос: у вас есть тюбик губной помады в форме треугольной призмы? Если вы хоть как-то ответили на этот вопрос (да или нет), значит теперь вы уже имеете представление о том, что такое треугольная призма и как она выглядит. Вот те два треугольничка, сверху и снизу, называются основаниями призмы. Три прямоугольника по бокам называются гранями призмы. Поскольку в основании призмы лежит треугольник, то и граней у нас ровно три. Если в основании будет пятиугольник, граней будет пять. А если в основании призмы находится 1234-угольник? Правильно, граней будет 1234 штуки. С конструкцией прямой призмы мы разобрались, после этого можно заняться математическими вычислениями площади поверхности треугольной призмы.
Поскольку призма является геометрическим телом, её строение можно исследовать на примере тела блондинки. Что входит в площадь поверхности призмы? Если вы наступите пяткой на что-то острое или стукнетесь обо-что макушкой своей блондинистой головы, вам будет больно. Это потому, что и пятки, и макушка головы входят в состав поверхности вашего тела. Точно так же верхний и нижний треугольники входят в площадь поверхности треугольной призмы. Если вас ткнуть пальцем в бок, вы скажете «Ой!» потому, что боковая поверхность принадлежит вашему телу. Вот те три прямоугольника, что находятся с боков треугольной призмы, составляют площадь её боковой поверхности.
В результате проведенных нами научных исследований тел блондинки и треугольной призмы, мы пришли к заключению, что площадь поверхности треугольной призмы состоит из площадей верхнего и нижнего оснований (они равны) и площади боковой поверхности. Площадь треугольника нужно найти по одной из формул. Напоминаю, что найденную по формуле площадь треугольника при вычислении площади поверхности призмы нужно взять два раза, то есть умножить её на два.
Площадь боковой поверхности призмы определяется как сумма площадей прямоугольных граней. Нужно длину каждой стороны треугольника (того, который в основании) умножить на высоту призмы и сложить три полученные площади вместе. Можно поступить проще: периметр треугольника (периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон) умножить на высоту призмы. Но суммирования вам не избежать в любом случае: либо до умножения (складываем длинны сторон), либо после умножения (складываем площади прямоугольных граней). Еще одна засада, которая вас может поджидать на пути к площади поверхности треугольной призмы — это отсутствие всех длин сторон. Для нахождения площади треугольника это не смертельно. А вот для площади боковой поверхности призмы вам придется предварительно найти длины всех трех сторон треугольника, применяя полученные математические знания.
obovsem.fun
Как найти площадь поверхности треугольной призмы Как? Так!
3 части:
Призма представляет собой объемную (трехмерную) фигуру с двумя параллельными (и равными) гранями. Две параллельные грани являются треугольниками и называются основаниями. Также в треугольной призме есть три боковые грани. Чтобы найти площадь поверхности треугольной призмы, сначала нужно вычислить площадь боковой поверхности, затем вычислить общую площадь оснований и, наконец, сложить эти площади. Площадь поверхности призмы находится по формуле: SA=L+2B
Часть 1 Вычисление площади боковой поверхности
- 1 Запишите формулу для вычисления площади боковой поверхности треугольной призмы. Формула: L=Ph
- Площадь боковой поверхности треугольной призмы – это общая площадь трех боковых граней (то есть площади оснований не учитываются).
- 2 Вычислите периметр одного основания. Основание представляет собой треугольник, поэтому имеет три стороны. Периметра треугольника вычисляется по формуле: P=a+b+c Не имеет значения, какое основание рассматривать, так как оба основания равны.
- Например, стороны основания равны 6 см, 5 см и 4 см; чтобы вычислить периметр, нужно сложить три стороны: 6+5+4=15 Подставьте периметр основания в формулу для вычисления площади боковой поверхности призмы. Значение периметра подставляется вместо P Подставьте высоту призмы в формулу для вычисления площади боковой поверхности призмы. Высота призмы равна любой стороне боковой грани, которая не принадлежит основанию. Как правило (но не всегда), такой стороной является более длинная сторона боковой грани.
- Например, если высота призмы равна 9 см, формула запишется так: L=15(9) Перемножьте периметр одного основания и высоту призмы. Получится площадь боковой поверхности призмы (в квадратных единицах). Это первое значение, необходимое для вычисления площади поверхности призмы (вторым значением является площадь основания).
- Например, 15(9)=135
Часть 2 Вычисление площади основания
- 1 Запишите формулу для вычисления площади треугольника. Так как каждое основание треугольной призмы является треугольником, для вычисления площади основания воспользуйтесь следующей формулой: A=12bh
- Это самая распространенная формула для вычисления площади треугольника. Если высота треугольника не дана, по трем сторонам треугольника.
- Нужно найти площадь только одного основания, так как оба основания призмы равны и, следовательно, имеют одинаковую площадь.
- 2 Подставьте основание треугольника в формулу для вычисления площади треугольника. Не перепутайте основание с другой стороной треугольника. Основание – это сторона, к которой проведена высота (то есть сторона, перпендикулярная высоте).
- Например, если основание треугольника равно 6 см, формула запишется так: A=126h Подставьте высоту треугольника в формулу для вычисления площади треугольника. Умножьте основание на высоту, а результат разделите на 2. Получится площадь основания (в квадратных единицах). Это второе значение, необходимое для вычисления площади поверхности призмы.
- Например, если высота равна 3,3 см, то расчеты будут выглядеть следующим образом:A=126(3,3)
Часть 3 Вычисление площади поверхности
- 1 Запишите формулу для вычисления площади поверхности призмы. Формула: SA=L+2B
- 2 Подставьте площадь боковой поверхности в формулу. Это общая площадь трех боковых граней (то есть площади оснований не учитываются), которая была вычислена в первом разделе. Площадь боковой поверхности подставляется вместо L Подставьте площадь основания в формулу. Подставляйте площадь только одного основания, а не сумму площадей двух оснований. Площадь основания подставляется вместо B Проведите вычисления. Умножьте площадь основания на 2, а затем к результату прибавьте площадь боковой поверхности. Получится площадь поверхности треугольной призмы (в квадратных единицах).
- Например: SA=135+2(9,9){displaystyle SA=135+2(9,9)}SA=135+19,8{displaystyle SA=135+19,8}SA=154,8{displaystyle SA=154,8}Таким образом, площадь поверхности треугольной призмы, стороны основания которой равны 6 см, 5 см и 4 см, а высота равна 9 см, равна 154,8 см2.
- Например, если высота равна 3,3 см, то расчеты будут выглядеть следующим образом:A=126(3,3)
- Например, если основание треугольника равно 6 см, формула запишется так: A=126h Подставьте высоту треугольника в формулу для вычисления площади треугольника. Умножьте основание на высоту, а результат разделите на 2. Получится площадь основания (в квадратных единицах). Это второе значение, необходимое для вычисления площади поверхности призмы.
- 1 Запишите формулу для вычисления площади треугольника. Так как каждое основание треугольной призмы является треугольником, для вычисления площади основания воспользуйтесь следующей формулой: A=12bh
- Например, 15(9)=135
- Например, если высота призмы равна 9 см, формула запишется так: L=15(9) Перемножьте периметр одного основания и высоту призмы. Получится площадь боковой поверхности призмы (в квадратных единицах). Это первое значение, необходимое для вычисления площади поверхности призмы (вторым значением является площадь основания).
- Например, стороны основания равны 6 см, 5 см и 4 см; чтобы вычислить периметр, нужно сложить три стороны: 6+5+4=15 Подставьте периметр основания в формулу для вычисления площади боковой поверхности призмы. Значение периметра подставляется вместо P Подставьте высоту призмы в формулу для вычисления площади боковой поверхности призмы. Высота призмы равна любой стороне боковой грани, которая не принадлежит основанию. Как правило (но не всегда), такой стороной является более длинная сторона боковой грани.
Прислал: Веселова Кристина . 2017-11-06 17:23:45
kak-otvet.imysite.ru
