ГлавнаяРазноеКак возвести дробь в число

Возведение дроби в степень. Как возвести дробь в число


Дробная степень | Алгебра

Какими свойствами обладает степень с дробным показателем (дробная степень)? Как выполнить возведение числа в дробную степень?

Определение.

1) Степенью числа a (a>0) с рациональным показателем r

   

где m — целое число, n — натуральное число (n>1), называется число

   

2) При a=0 и r>0 

   

В частности,

   

При a<0 степень с дробным показателем не определяется.

Все свойства степеней из курса алгебры 7 класса выполняются и для степеней с рациональными показателями.

Для упрощения вычислений при возведении числа в дробную степень удобно использовать таблицу степеней и следующее свойство корня:

   

Примеры.

Выполнить возведение в дробную степень:

   

   

Если показатель степени — десятичная дробь, нужно предварительно перевести ее в обыкновенную.

   

   

   

   

Смешанное число нужно предварительно перевести в неправильную дробь:

   

   

   

   

www.algebraclass.ru

определение, виды, правила возведения в натуральную и дробную степень

Решение алгебраических выражений — один из самых распространенных видов задач в высшей математике. И, как это всегда бывает, успешный исход дела и верный ответ зависят от знания азов и умения применять их на практике. Одно из таких умений — это понимание алгоритма возведения чисел в разные виды степеней. Важно также уметь правильно перефразировать выражение, приводя ее в более понятный и простой вид, а также упросить. Особенное внимание в данном случае следует уделить дробной разновидности. О том, как правильно и успешно возводить в дробную степень — читайте далее.

Что означает возведение в степень

Прежде чем привести конкретные примеры, следует объяснить, что называют термином «возведение в степень». Вот подходящее определение. Возведением называют вычисление значения степени какого-либо числa. Поясним сказанное. Вычисление степенного значения числa «a» с показателем «r» — одно и то же, что и возведение числа a в r-степень.

К примеру, если стоит задача вычислить значение (0,4)^4, то это имеет другую такую же справедливую формулировку: «Возвести числo 0,4 в cтепень 4». После этого можно переходить напрямую к правилам, по которым осуществляется эта математическая операция.

Натуральная степень числа

По самому определению cтепeнь некого числa a с n — натуральным показателем — будет равна произведению из n множителей, каждый из которых, в свою очередь, равен числу a. Иначе говоря, чтобы возвести некое число a в n-cтепень, необходимо рассчитать произведение вида a*a…*a, поделенное на n. В связи с этим ясно, что возведение в n-степeнь (то есть натуральную) основывается на умении осуществлять умножение чисел, а как именно это следует делать, можно узнать, ознакомившись с разделом об умножении действительных чисел.

Опишем способы решения на некоторых примерах.

  1. Пример 1. Задача Требуется выполнить возведение числa минус два в cтепень 4. Решение задачи. По понятию cтeпени числa с натуральным показателем, мы имеем следующее: (-2)^4 =(-2)*(-2)*(-2)*(-2). Все очень просто. Теперь остается только лишь произвести умножение целых чисел, получаем: (-2)*(-2)*(-2)*(-2) = 16. Записываем ответ: (-2)^4 = 16.
  2. Пример 2. Определите значение степени: ( 3 2/7 )^2 (три целых две седьмых во второй cтепeни). Решение задачи. Вторая степeнь данного числа равна произведению следующего вида: три целых две седьмых, умноженное на три целых две седьмых. Теперь остаётся лишь вспомнить порядок выполнения умножения смешанных чисел, которые нужно закончить возведением в степeнь. Получаем следующий ответ: 10 39/49 (десять целых, тридцать девять сорок девятых).

Иррациональные числa

Что касаемо возведения иррациональных чисел в натуральную cтепень, то его следует проводить по окончании подготовительного округления основы cтепени до какого-либо разряда, который позволил бы извлечь значение с установленной cтепенью точности.

Пример:

Здесь следует отметить, что во многих задачах не требуется иррациональные чиcла возводить в степень. Как правило, ответ заносится или в виде самой cтепени, к примеру, (ln6)^3, либо, если есть возможность, проводят преобразование выражения: корень из пяти в cтепени 7 равен ста двадцати пяти корня из пяти.

Возведение числа в дробную степень

Это умение базируется на установлении степени с дробным показателем. Понятно, что под a понимается любое положительное чиcло, под m целое, а под n натуральное. Соответственно, нахождение дробной степени m/n числа a можно заменить 2-мя операциями: нахождением целой степени (о чем уже было сказано) и вычислением корня степени n.

На деле равенство на базе свойств корней, как правило, употребляется в следующем виде: а в дробной степени n/m, где n числитель, а m знаменатель. Иначе говоря, при возведении a в дробную cтепень m/n первоначально извлекается корень n-ой cтепени из a, после этого извлеченный результат возводится в степень m (в целую).

Разберем решение примеров возведения в дробную стeпень.

Пример. Вычислите значение 8 в отрицательную степeнь -2/3

Решение. Продемонстрируем 2 приема решения:

Заметим, что дробный показатель возможно записать в виде смешанного числа или десятичной дроби.

Тогда его стоит заменить обыкновенной дробью, которая ему соответствует, после чего осуществлять возведение в стeпeнь.

В заключение, отдельно остановимся на возведении в 1-ую cтепень. В таком варианте достаточно иметь понятие, что число a в 1-ой cтепени в сущности и есть это само число a, то есть, а^1=а. Это представляет частный случай формулы при n равном 1. К примеру, (-9)^1= -9.

Видео

На примере этого видео вам будет проще разобраться, как упрощать степени с дробным показателем.

 

liveposts.ru

Возвести число в дробную степень. Как возводить число в дробную степень. На пример 3^3/7

это тоже самое что 3 в степени 3 и из этого корень седьмой степени

Откуда вообще взялась дробная степень? Начинали с натуральной. a^n = a*a*....*a (n раз) . Причем n &gt; 1, это важно. Это определение натуральной степени. Потом стали пытаться выполнять действия над степенями. Умножение степеней с одинаковыми показателями. a^n * a^m (натуральные n&gt;1, m&gt;1) Просто перемножаем: (a*a*...*a) * (a*a*...a) = a^(n+m) - всё тривиально. (а^n)^m = a^(nm). Это тоже просто. (*) Потом деление. a^n / a^m Тут делаем замечание: n &gt; m Записываем в виде дроби, сокращаем и получаем a^(n-m). Тоже просто. А если n и m различаются на единицу? Тогда после сокращения получим просто a. Но из формулы следует: a^(n-m) = a^1 Ага, значит, а в первой степени придется считать равным а. А если n = m? Тогда после сокращения получим 1. А из формулы: a^(n-m) = a^0. И оно должно быть равно 1. А вот теперь! Определение квадратного корня знаем. (Кубического тоже. И так далее. ) И вот, (корень из а) * (корень из а) = а. По определению квадратного корня. Но из формулы умножения степеней придется принять, что (корень из а) есть a^(1/2). Если хотим, чтобы эта формула выполнялась не только для натуральных показателей (а мы-то хотим! ) Точно так же (куб. корень из а) * (куб. корень из а) * (куб. корень из а) = а. И (куб. корень из а) = a^(1/3) А если a^(1/3) возвести в квадрат? Тогда из (*) получим: (a^(1/3))^2 = a^(2/3) Вот и научились возводить число в рациональную степень.

touch.otvet.mail.ru

64^(1/6) а то завтра уже егэ..

Это корень шестой степени из числа. Представь 64 как двойку в некоторой степени. А при возведении степени в степень показатели перемножаются. Т. е. 2^6 = 64 или (2^6)^(1/6) = 2^1 = 2

У мя завтра тож экзамен, но я этого не знаю, наверн потому, что я 9 класс!)) )

ответом будет являться число 10,6

число 64 представить как 2^6 тогда в степени полчится 2^6*1/6 = 2^1

числитель 1 - 64 в первой степени знаменатель 6 - корень шестой степени из 64 или квадратный корень из 64 три раза итого ответ 2 <a rel="nofollow" href="http://ru.wikipedia.org/wiki/Возведение_в_степень" target="_blank">http://ru.wikipedia.org/wiki/Возведение_в_степень</a>

touch.otvet.mail.ru

Возведение дроби в степень: отрицательная, буквенная, со степенью

 

Дробь представляет собой отношение числителя к знаменателю, причём знаменатель не должен равняться нулю, а числитель может быть любой.

При возведении любой дроби в произвольную степень нужно возводить отдельно числитель и знаменатель дроби в эту степень, после чего мы должны эти степени сосчитать и таким образом получим дробь, возведённую в степень.

Например:

(2/7)^2 = 2^2/7^2 = 4/49

(2 / 3)^3 = (2 / 3) · (2 / 3) · (2 / 3) = 2^3 / 3^3

Отрицательная степень

Если мы имеем дело с отрицательной степенью, то мы должны сначала  “Перевернуть дробь”, а уж потом возводить её в степень по правилу написанному выше.

(2/7)^(-2) = (7/2)^2 = 7^2/2^2

Буквенная степень

При работе с буквенными значениями такими как  “x” и “у” возведение в степень происходит по тому же правилу  что и раньше.

Также мы можем проверить себя возведя дробь ½ в 3 степень в результате чего мы получим ½ * ½ * ½  = 1/8 что в сущности тоже самое что и

(1/2)^3 = 1/8.

Буквенное возведение в степень x^y 

Умножение и деление дробей со степенями

Если мы умножаем степени с одинаковыми основаниями, то само основание остается прежним, а показатели степеней мы складываем. Если же мы делим степени с одинаковым основаниями, тогда основание степени также остаётся прежним, а показатели степеней вычитаются.

Это очень легко можно показать на примере:

(3^23)*(3^8)=3^(23+8) = 3^31

(2^4)/(2^3) = 2^(4-3) = 2^1 = 2

Тоже самое мы могли бы получить если бы просто возвели в степень 3 и 4 отдельно знаменатель и числитель соответственно.

Возведение дроби со степенью в еще одну степень

При возведении дроби, которая уже находится в степени, ещё раз в степень мы должны сначало сделать внутреннее возведение в степень после чего переходить в во внешнюю часть возведения в степень. Другими словами мы можем просто напросто перемножить эти степени и возвести дробь в полученную степень.

Например:

(2^4)^2 = 2^ 4·2 = 2^8

Возведение в единицу, квадратный корень

Также нельзя забывать что возведение абсолютно любой дроби в нулевую степень даст нам 1, так же как и любое другое число при возведении в степень равную нулю мы получим 1.

Обычный квадратный корень также можно представить в виде степени дроби

Квадратный корень 3 = 3^(1/2)

Если же мы имеем дело с квадратным корнем под которым находится дробь, то мы можем представить эту дробь в числителе которой будет находится квадратный корень 2 – степени ( т.к. квадратный корень)

А в знаменателе также будет находится квадратный корень , т.е. другими словами мы будем видеть отношение двух корней, это может пригодится для решения некоторых задач и примеров.

Если мы возведём дробь, которая находится под квадратным корнем во вторую степень то мы получим ту же самую дробь.

Произведение двух дробей под одной степенью будет равнятся произведению этих двух дробей, каждая в отдельности из которых будет под своей степенью.

Помните: на ноль делить нельзя!

Также не стоит забывать об очень важном замечании для дроби такой как знаменатель не должен равняться нулю. В дальнейшем во многих уравнениях мы будем использовать это ограничение, называемое ОДЗ – область допустимых значений

При сравнении двух дробей с одним и тем же основанием но разными степенями, большее будет являться та дробь у которой степень будет больше, а меньшей та у которой степень меньше, при равенстве не только оснований, но и степеней, дробь считается одинаковой.

Примеры:

например: 14^3.8 / 14^(-0.2) = 14^(3.8 -0.2) = 139.6

6^(1,77) · 6^( - 0,75) = 6^(1,77+( - 0,75)) = 79,7 – 1,3 =  78,6

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Умножение и деление дробей: сокращение дробей + полезные советы Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspПреобразование рациональных выражений: способы преобразований и примеры

Все неприличные комментарии будут удаляться.

www.nado5.ru

Квадрат дроби | Математика

Как выполнить возведение дроби в квадрат? Как возвести в квадрат смешанное число?

Чтобы найти квадрат дроби, нужно найти произведение двух множителей, каждый из которых равен этой дроби:

   

Например,

   

   

   

   

Другой способ найти дробь в квадрате — возвести в квадрат отдельно числитель, отдельно — знаменатель:

   

Например,

   

   

   

   

Чтобы найти квадрат смешанного числа (смешанной дроби), надо сначала перевести это число в неправильную дробь, возвести ее в квадрат, а затем из полученной неправильной дроби выделить целую часть.

Например,

   

   

   

   

Светлана МихайловнаОбыкновенные дроби

www.for6cl.uznateshe.ru

как возвести отрицательную дробь в положительную степень?

Инструкция. 1. Используйте при возведении в степень отрицательного числа обычные для этой операции правила. Как и для положительных чисел, возведение в степень означает умножение исходной величины на саму себя количество раз, на единицу меньшее показателя степени. Например, чтобы возвести в четвертую степень число -2, его нужно трижды умножить на себя: -2&#8308;=-2*(-2)*(-2)*(-2)=16. 2. Умножение двух отрицательных чисел всегда дает положительное значение, а результатом этой операции для величин с разными знаками будет число отрицательное. Из этого можно сделать вывод, что при возведении отрицательных значений в степень с четным показателем всегда должно получаться число положительное, а при нечетных показателях результат всегда будет меньше нуля. Используйте это свойство для проверки произведенных расчетов. Например, -2 в пятой степени должно быть числом отрицательным -2&#8309;=-2*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)=-32, а -2 в шестой - положительным -2&#8310;=-2*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)=64. 3. При возведении отрицательного числа в степень показатель может быть приведен в формате обыкновенной дроби - например, -64 в степени &#8532;. Такой показатель означает, что исходную величину следует возвести в степень, равную числителю дроби, и извлечь из нее корень степени, равной знаменателю. Одна часть этой операции рассмотрена в предыдущих шагах, а здесь вам следует обратить внимание на другую. 4. Извлечение корня - нечетная функция, то есть для отрицательных вещественных чисел она может применяться только при нечетном показателе степени. При четном эта функция значения не имеет. Поэтому, если в условиях задачи требуется возвести отрицательное число в дробную степень с четным знаменателем, то задача решения не имеет. В остальных случая проделайте сначала операции из первых двух шагов, используя в качестве показателя степени числитель дроби, а затем извлеките корень со степенью знаменателя.

touch.otvet.mail.ru