ГлавнаяРазноеКак возвести дробь в квадрат пример

Как возвести трехчлен в квадрат. Как возвести дробь в квадрат пример


Возведение многочленов в квадрат | Математика

Рассмотрим теперь возведение в квадрат двучлена и, применяясь к арифметической точке зрения, будем говорить о квадрате суммы, т. е. (a + b)² и о квадрате разности двух чисел, т. е. (a – b)².

Так как (a + b)² = (a + b) ∙ (a + b),

то найдем: (a + b) ∙ (a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b², т. е.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Этот результат полезно запомнить и в виде вышеописанного равенства и словами: квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс произведение двойки на первое число и на второе число, плюс квадрат второго числа.

Зная этот результат, мы можем сразу написать, напр.:

(x + y)² = x² + 2xy + y²(3ab + 1)² = 9a² b² + 6ab + 1(xn + 4x)² = x2n + 8xn+1 + 16x2

Разберем второй из этих примеров. Нам требуется возвести в квадрат сумму двух чисел: первое число есть 3ab, второе 1. Должно получиться: 1) квадрат первого числа, т. е. (3ab)², что равно 9a²b²; 2) произведение двойки на первое число и на второе, т. е. 2 ∙ 3ab ∙ 1 = 6ab; 3) квадрат 2-го числа, т. е. 1² = 1 – все эти три члена должно сложить между собою.

Совершенно также получим формулу для возведения в квадрат разности двух чисел, т. е. для (a – b)²:

(a – b)² = (a – b) (a – b) = a² – ab – ab + b² = a² – 2ab + b².

Итак,

(a – b)² = a² – 2ab + b²,

т. е. квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус произведение двойки на первое число и на второе, плюс квадрат второго числа.

Зная этот результат, мы можем сразу выполнять возведение в квадрат двучленов, представляющих с точки зрения арифметики разность двух чисел.

Напр.:

(m – n)² = m² – 2mn + n²(5ab3 – 3a2b)2 = 25a2b6 – 30a3b4 + 9a4b2(an-1 – a)2 = a2n-2 – 2an + a2 и т. п.

Поясним 2-ой пример. Здесь мы имеем в скобках разность двух чисел: первое число 5ab3 и второе число 3a2b. В результате должно получиться: 1) квадрат первого числа, т. е. (5ab3)2 = 25a2b6, 2) произведение двойки на 1-ое и на 2-ое число, т. е. 2 ∙ 5ab3 ∙ 3a2b = 30a3b4 и 3) квадрат второго числа, т. е. (3a2b)2 = 9a4b2; первый и третий члены надо взять с плюсом, а 2-ой с минусом, получим 25a2b6 – 30a3b4 + 9a4b2. В пояснение 4-го примера заметим лишь, что 1) (an-1)2 = a2n-2 … надо показателя степени умножить на 2 и 2) произведение двойки на 1-ое число и на 2-ое = 2 ∙ an-1 ∙ a = 2an.

Если встать на точку зрения алгебры, то оба равенства: 1) (a + b)² = a² + 2ab + b² и 2) (a – b)² = a² – 2ab + b² выражают одно и тоже, а именно: квадрат двучлена равен квадрату первого члена, плюс произведение числа (+2) на первый член и на второй, плюс квадрат второго члена. Это ясно, потому что наши равенства можно переписать в виде:

1) (a + b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (+b) + (+b)²2) (a – b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (–b) + (–b)²

В некоторых случаях так именно и удобно толковать полученные равенства:

(–4a – 3b)² = (–4a)² + (+2) (–4a) (–3b) + (–3b)²

Здесь возводится в квадрат двучлен, первый член которого = –4a и второй = –3b. Далее мы получим (–4a)² = 16a², (+2) (–4a) (–3b) = +24ab, (–3b)² = 9b² и окончательно:

(–4a – 3b)² = 6a² + 24ab + 9b²

Возможно было бы также получить и запомнить формулу для возведения в квадрат трехчлена, четырехчлена и вообще любого многочлена. Однако, мы этого делать не будем, ибо применять эти формулы приходится редко, а если понадобится какой-либо многочлен (кроме двучлена) возвести в квадрат, то станем сводить дело к умножению. Например:

31. Применим полученные 3 равенства, а именно:

(a + b) (a – b) = a² – b²(a + b)² = a² + 2ab + b²(a – b)² = a² – 2ab + b²

к арифметике.

Пусть надо 41 ∙ 39. Тогда мы можем это представить в виде (40 + 1) (40 – 1) и свести дело к первому равенству – получим 40² – 1 или 1600 – 1 = 1599. Благодаря этому, легко выполнять в уме умножения вроде 21 ∙ 19; 22 ∙ 18; 31 ∙ 29; 32 ∙ 28; 71 ∙ 69 и т. д.

Пусть надо 41 ∙ 41; это все равно, что 41² или (40 + 1)² = 1600 + 80 + 1 = 1681. Также 35 ∙ 35 = 35² = (30 + 5)² = 900 + 300 + 25 = 1225. Если надо 37 ∙ 37, то это равно (40 – 3)² = 1600 – 240 + 9 = 1369. Подобные умножения (или возведение в квадрат двузначных чисел) легко выполнять, при некотором навыке, в уме.

maths-public.ru

Как возводить в квадрат дроби Как? Так!

Содержимое:

3 части:

Возведение в квадрат дробей – это одна из самых простых операций с дробями. Она похожа на возведение в квадрат целых чисел – нужно умножить числитель и знаменатель на себя. В некоторых случаях дробь можно упростить, а потом возвести ее в квадрат, чтобы упростить процесс. Эта статья научит вас возводить в квадрат дроби.

Шаги

Часть 1 Возведение в квадрат дробей

  1. 1 Уясните, как возводить в квадрат целые числа. Если показатель степени равен 2, то число нужно возвести в квадрат. Для этого нужно умножить число на себя. Например:
  2. 2 Возведение в квадрат похоже на возведение в квадрат целых чисел. Чтобы возвести в квадрат дробь, нужно умножить ее на себя, то есть нужно умножить числитель на себя, а затем умножить знаменатель на себя. Например:
    • (5/2)2 = 5/2 × 5/2 = (52/22).
    • Возведя каждое число в квадрат, вы получите: (25/4).
  3. 3 Умножьте числитель на себя и умножьте знаменатель на себя. Не имеет значения, какое число умножать в первую очередь – главное возвести в квадрат и числитель, и знаменатель. Чтобы упростить процесс, начните с числителя: умножьте его на себя. Затем умножьте знаменатель на себя.
    • Числитель записывается над чертой, а знаменатель – под чертой.
    • Например: (5/2)2 = (5 x 5/2 x 2) = (25/4).
  4. 4 . В конце вычислений нужно сократить дробь до наименьших значений числителя и знаменателя, или . В нашем примере дробь 25/4 является неправильной, потому что числитель больше знаменателя.
    • Чтобы преобразовать дробь в смешанное число, разделите 25 на 4. Вы получите 6 (6 х 4 = 24) и остаток 1. Таким образом, смешанное число: 6 1/4.

Часть 2 Возведение в квадрат отрицательных дробей

  1. 1 Обратите внимание на знак «минус» перед дробью. Если дана отрицательная дробь, перед ней стоит знак «минус». В некоторых случаях отрицательные дроби (и числа) заключают в круглые скобки, чтобы не перепутать отрицательную дробь (или число) с операцией вычитания.
    • Например: (–2/4)
  2. 2 Умножьте дробь на себя. То есть умножьте числитель на себя, а затем умножьте знаменатель на себя. Или просто умножьте дробь на себя.
    • Например: (–2/4)2 = (–2/4) x (–2/4)
  3. 3 Помните, что при перемножении двух отрицательных чисел получается положительное число. Если перед дробью стоит знак «минус», то дробь отрицательная. Возводя в квадрат дробь, вы перемножаете два отрицательных числа. При перемножении двух отрицательных чисел получается положительное число.
    • Например: (-2) x (-8) = (+16)
  4. 4 После возведения в квадрат избавьтесь от знака «минус» (-). Возведя в квадрат дробь, вы перемножили два отрицательных числа. То есть теперь дробь стала положительной. Не забудьте записать окончательный ответ без знака «минус».
    • В нашем примере конечная дробь будет положительной.
    • (–2/4) x (–2/4) = (+4/16)
    • В подавляющем большинстве случаев знак «плюс» (+) перед положительными дробями (и числами) не пишут.
  5. 5 Сократите дробь. В конце вычислений нужно сократить дробь до наименьших значений числителя и знаменателя, или преобразовать неправильную дробь в смешанное число, которое затем сокращается.
    • Например: у числителя и знаменателя дроби (4/16) есть общий делитель 4.
    • Разделите дробь на 4: 4/4 = 1, 16/4 = 4
    • Запишите сокращенную дробь: (1/4)

Часть 3 Сокращение дробей

  1. 1 Проверьте, можно ли перед тем, как возвести ее в квадрат. Как правило, легче сократить дробь до ее возведения в квадрат. Чтобы сократить дробь до наименьших значений числителя и знаменателя, нужно разделить и числитель, и знаменатель на общий делитель. Сокращение дроби до возведения в квадрат означает, что сокращать дробь после возведения в квадрат уже не нужно.
    • Например: (12/16)2
    • Числа 12 и 16 можно разделить на 4: 12/4 = 3 и 16/4 = 4. Таким образом, дробь 12/16 сокращается до 3/4.
    • Теперь возведите в квадрат дробь 3/4.
    • (3/4)2 = 9/16. Эту дробь сократить нельзя.
    • Чтобы доказать это, возведите в квадрат исходную дробь:
      • (12/16)2 = (12 x 12/16 x 16) = (144/256)
      • У числителя и знаменателя дроби (144/256) есть общий делитель 16. Разделив числитель и знаменатель на 16, вы сократите дробь до (9/16), то есть получается такая же дробь, как при сокращении до возведения в квадрат.
  2. 2 Научитесь определять, когда нужно повременить с сокращением дроби. Работая с более сложными , можно сократить один из множителей. В этом случае с сокращением дроби лучше подождать. Дробь, которая участвовала в приведенном выше примере, умножим на число:
    • Например: 16 × (12/16)2
    • Степень запишите в виде произведения дроби на себя, а затем сократите множитель:16 * 12/16 * 12/16
      • Так как множитель равен 16, и один из знаменателей равен 16, можно сократить и множитель, и один из знаменателей – просто зачеркните их.
    • Упрощенное уравнение запишется так: 12 × 12/16
    • Сократите дробь 12/16, разделив числитель и знаменатель на 4. Вы получите дробь: 3/4
    • Перемножьте: 12 × 3/4 = 36/4
    • Разделите: 36/4 = 9
  3. 3 Научитесь упрощать . Упрощение степени – это другой способ решить ту же задачу. Вы получите тот же ответ, но процесс вычисления немного изменится.
    • Например: 16 * (12/16)2
    • Запишите числитель и знаменатель в виде степеней: 16 * (122/162)
    • Сократите множитель и показатель степени у знаменателя:16 * 122/162
      • Показатель степени множителя 16 равен 1: 161. По правилу деления степеней их показатели вычитаются: 161/162 = 161-2 = 16-1 = 1/16.
    • Вы получили дробь:122/16
    • Перепишите дробь в следующем виде и сократите ее: 12*12/16 = 12 * 3/4.
    • Перемножьте: 12 × 3/4 = 36/4
    • Разделите: 36/4 = 9

Что вам понадобится

Прислал: Fluffy . 2017-11-05 16:14:16

kak-otvet.imysite.ru

Квадрат разности | Алгебра

Квадрат разности двух выражений, как и квадрат суммы, удобнее искать с помощью формулы.

Выведем для квадрата разности формулу сокращенного умножения.

Квадрат разности — это произведение двух одинаковых множителей a-b.  Выполнив умножение многочленов, получаем:

   

   

Таким образом,

формула квадрата разности:

   

Каким образом пользоваться этой формулой?

Если нужно возвести в квадрат разность двух выражений, сначала определяем, чему равны a и  b.  Все, что стоит до знака «+» — это a, все, что после знака «+» -это b.  Вместо a и b подставляем свои выражения и применяем формулу.

Например,

   

Здесь a=t, b=5. По формуле квадрата разности,

   

Облегчить нахождение квадрата разности в начале знакомства с формулой может помочь схема.

Чтобы лучше понять, что есть a и b в формуле, все, что стоит до знака «+», заключаем в квадрат, все, что стоит после «+» — в круг:

Например, чтобы найти квадрат разности (3a-4b)², применив схему, получаем

Важно!

При возведении в квадрат произведения нескольких множителей или степени их обязательно нужно брать в скобки!

Теперь возведем разность 3a-4b в квадрат

   

   

И еще пара примеров нахождения квадрата разности.

   

При возведении степени в степень показатели перемножаем, при умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываем

   

   

Чтобы возвести в квадрат смешанное число, его сначала нужно перевести в неправильную дробь

   

   

После возведения в квадрат неправильную дробь переводим в смешанное число, выделив из нее целую часть:

   

Формулы сокращенного умножения в алгебре используются не только для раскрытия скобок, но и для разложения многочлена на множители.

www.algebraclass.ru

Как решать примеры со степенями и дробями: калькулятор возведения в квадрат

Нулевая, отрицательная и дробная степень

Нулевой показатель

Возвести данное число в некоторую степень значит повторить его сомножителем столько раз, сколько единиц в показателе степени.

Согласно этому определению, выражение: a0 не имеет смысла. Но чтобы правило деления степеней одного и того же числа имело значение и в том случае, когда показатель делителя равен показателю делимого, введено определение:

a0 = 1

Нулевая степень любого числа будет равна единице.

Отрицательный показатель

Выражение a-m, само по себе не имеет смысла. Но чтобы правило деления степеней одного и того же числа имело значение и в том случае, когда показатель делителя больше показателя делимого, введено определение:

Пример 1. Если данное число состоит из 5 сотен, 7 десятков, 2 единиц и 9 сотых долей, то его можно изобразить так:

5 × 102 + 7 × 101 + 2 × 100 + 0 × 10-1 + 9 × 10-2 = 572,09

Пример 2. Если данное число состоит из a десятков, b единиц, c десятых и d тысячных долей, то его можно изобразить так:

a × 101 + b × 100 + c × 10-1 + d × 10-3

Действия над степенями с отрицательными показателями

При умножении степеней одного и того же числа показатели складываются.

При делении степеней одного и того же числа из показателя делимого вычитается показатель делителя.

Чтобы возвести в степень произведение, достаточно возвести в эту степень каждый сомножитель отдельно:

Чтобы возвести в степень дробь, достаточно возвести в эту степень отдельно оба члена дроби:

При возведении степени в другую степень показатели степеней перемножаются.

Дробный показатель

Если k не есть число кратное n, то выражение: не имеет смысла. Но чтобы правило извлечения корня из степени имело место при любом значении показателя степени, введено определение:

Благодаря введению нового символа, извлечение корня всегда может быть заменено возведением в степень.

Действия над степенями с дробными показателями

Действия над степенями с дробными показателями совершаются по тем же правилам, которые установлены для целых показателей.

При доказательстве этого положения, будем сначала предполагать, что члены дробей: и , служащих показателями степеней, положительны.

В частном случае n или q могут равняться единице.

При умножении степеней одного и того же числа дробные показатели складываются:

При делении степеней одного и того же числа с дробными показателями из показателя делимого вычитается показатель делителя:

Чтобы возвести степень в другую степень в случае дробных показателей, достаточно перемножить показатели степеней:

Чтобы извлечь корень из дробной степени, достаточно показатель степени разделить на показатель корня:

Правила действий применимы не только к положительным дробным показателям, но и к отрицательным.

Справка по контенту:

1. Сложность работы инженерного калькулятора

2. Инструкции по функциям инженерного калькулятора

3. Как использовать инженерный калькулятор — например

4. Тригонометрический калькулятор онлайн — примеры

Комплекс компьютерной инженерии

интегрированный математический калькулятор это поможет вам выполнить простейшие вычисления: умножение и сложение, вычитание и деление.

Онлайн-калькулятор быстро и точно построить любое количество на выбранном вами уровне.

Представленный калькулятор калькулятора содержит в себе все возможные версии веб-программ для расчетов. Kalkpro.ru содержит тригонометрический калькулятор (углы и радианы, замки), логарифмы (Вход) факториалов (N!), расчет корней, пазух и arktangenti, kosinusov, касательныйонлайн — набор тригонометрических функций, а не только.

С помощью компьютерной программы вы можете работать на любом устройстве, в любом случае размер интерфейса будет персонализирован для вашего устройства, или вы можете настроить его на свой вкус.

Номера вводятся в двух версиях:

Инструкции для функций инженерного калькулятора

Чтобы понять возможности программы, дадим вам краткую инструкцию, см. примеры веб-расчетов.

Принцип работы научного калькулятора: введите номер, по которому производится расчет, затем нажмите функциональную клавишу или операцию, а затем, при необходимости, другое изображение, например, скорость, в конце — знак равенства.

Как использовать MR MC M + M-MS

Как использовать инженерный калькулятор — например

Как добраться до власти

Например, если вы хотите построить 12 ^ 3, введите следующую последовательность:

12 [ху] 3 [=]

12, клавиша «x в игровом уровне» [xy], 3, знак равенства [=]

Ответ: 1728

Как найти корни кубика

Предположим, что мы вытащили корень куба 729, щелкните в следующем порядке:

729 [3√x] [=]

729, [3√x] «кубический корень X» равен [=]

Как найти корень на вашем компьютере

Проблема: найдите квадратный корень из 36.

Решение: все просто, просто нажмите:

36 [Y√х] 2 [=]

36, [y√x] «корень X, скорость воспроизведения», требуемый уровень 2, [=]

Ответ: 6

С помощью этой функции вы можете найти корень на любом этапе, а не только квадрат.

Как квадрат

Существует две функции для квадратной калькуляции веб-программы:

[Х] «X на стадии воспроизведения», [X2] «X в квадрате»,

входная последовательность данных такая же, как и раньше, — первое начальное значение, затем «x ^ 2» и равные, или если нет квадратов, но любое число, нажмите «x ^ y», а затем укажите соответствующий уровень и в том же самом принте равняется символу.

Например: 45 [xy] 6 [=]

Ответ: Сорок пять на шестом шаге.

Трехграмотный калькулятор онлайн — примеры

Как сделать веб-расчет синусов и косинусов, касательных

Обратите внимание, что kalkpro.ru может работать с обоими уровнями, радианами и градом.

1 рад = 57,3 °; 360 ° = 2π, 1 градус = 0,9 градуса или 1 град = 0,015708 радианов.

Чтобы активировать определенный режим измерения, нажмите нужную кнопку:

где Deg — градусы, Rad — измерение в радианах, Град — в граде.

Метод расчета по умолчанию находится в градусах.

В качестве простейшего примера шаг синуса составляет 90 градусов. нажмите:

90 [sin] [=]

Ответ: единица

Мы также вычисляем другие тригонометрические функции, например, вычисляем косинус 60 °:

60 [cos] [=]

Решение: 0,5

Аналогичным образом, наоборот тригонометрические функции онлайн на CALPRO — арксин, дуговый косинус, арктангенс и гиперболические функции sinh, cosh, tanh.

Чтобы войти, вы должны включить интерфейс, нажав [Inv], будут отображаться новые кнопки — asin, acos, atan.

Порядок ввода данных одинаков: сначала значение, затем символ желаемой функции, будь то акросин или дуговый косинус.

Преобразование с помощью кнопок Dms и Deg на калькуляторе

[Deg] позволяет конвертировать, как в градусах, минутах и ​​секундах в формате, в десятичные точки для вычисления. [Dms] создает обратный перевод — в виде «градусов, минут, секунд».

К примеру, как 35 ° 14 минут 04 секунды 53 десятых секунды переводятся на десятки:

35, 140, 4553 [Deg] [=] 35, 23, 44, 45, 46, 66, 66, 66, 66, 66,

Перейдем к предыдущей форме: 35,23459166666666666666 [Dms] [=] 35,140453

Десятичный логарифм онлайн

Десятичный логарифм калькулятора вычисляется следующим образом, например, если вы ищете журналы для базы 10, log10 (1) или lg1:

1 [log] [=]

В результате получилось 0.

Чтобы вычислить lg100, нажмите:

100 [log] [=]

решение: два. Как проверить себя?

как решать дела с фракциями и полномочиями

Что такое логарифмический логарифм на базе 10. В нашем примере есть 2-ступенчатый уровень, на который вы должны ввести базу логарифмов, т. Е. 10, чтобы получить 100.

Также вычисляется натуральный логарифм, но с ключом [ln].

Как использовать память на компьютере

Существующие кнопки памяти: M +, M-, МР, МС, MC.

Добавьте данные в память программы, чтобы MS впоследствии помогала в дальнейших вычислениях.

MR отобразит данные, хранящиеся в памяти.

MC удалит все данные из памяти. M — вычитает номер на веб-дисплее из памяти, хранящейся в памяти.

пример:. В память о программе мы сделаем сто сорок пять:

145 [MR]

После выполнения других вычислений нам пришлось внезапно вернуть сохраненный номер на экран электронного калькулятора, просто нажав:

[MR]

Экран появится снова 145.

Затем снова мы верим, что мы верим, а затем решили добавить, например, 85 с памятью 145, для которой мы нажимаем [M +], или [М] для подсчета 85 из 145 сохраненных.

В первом случае, после возврата окончательного номера из памяти, оказывается, что кнопка [MR] 230, а во втором, после нажатия [M-] и [MR], получается, что 60.

Инженерный калькулятор kalkpro.ru быстро и точно выполняет сложные вычисления, которые значительно упрощают ваши задачи.

Список калькуляторов и функциональных возможностей будет расширен, просто добавьте сайт в закладки и расскажите своим друзьям!

Как подсчитать градусы

Мы часто сталкиваемся с уровнями в разных сферах жизни и даже в повседневной жизни.

Когда дело доходит до квадратных метров или кубических, он сказал, что число на 2-м или 3-м этапах, когда мы видели отметку пленного штрафа или в больших количествах, часто использует 10 ^ n.

И, наконец, есть много формул, которые включают ставки. И какой уровень действия разрешен и как они учитываются?

инструкции

первый Начнем с основ, с определением. Ставка — это продукт тех же факторов. Множитель называется базой, а число факторов называется показателем.

Как уменьшить долю сил

Действие, созданное силой, называется степенью возведения в степень. Показатель может быть положительным и отрицательным, целочисленным или частичным, правила обработки ставок остаются прежними. Если основание силы — с отрицательным знаком, а экспоненциальный странный, то результат потенцирования отрицательный, но если показатель является даже результатом, то в автономии отрицательного или положительного знака до уровня фундамента всегда будет знак плюса.

второй Все свойства, которые мы сейчас пишем, считаются одной и той же.

Однако, если основы ставок отличаются, добавление или вычитание разрешено только после определения. Так же, как они размножаются и делятся. Поскольку построение мощности в соответствии с установленным порядком выполнения расчетных операций имеет преимущество перед умножением и делением, а также сложение и вычитание, выполненные в последней строке. И для метаморфоза этой серьезной последовательности действий есть скобки, в которых завершены основные меры.

третий Какие конкретные правила для арифметических операций существуют для примерно одинаковых оснований?

Помните следующие свойства мощности. Если они работают до 2-градусных выражений, например, ^ n * s ^ m, то пусть это будет свернуто в той мере, в какой это потому, что ^ (n + m). Точно так же они работают с частными, но ставка вычитается из других. a ^ n / a ^ m = a ^ (n-m).

четвёртая В случае, когда требование меньше (a ^ n) ^ m, экспоненты умножаются и получаются ^ (n * m).

пятые Следующее более важное правило, если оно допустимо в качестве основы для представления в виде произведения, может быть преобразовано из (a * b) ^ n в n ^ n * b ^ n.

Также разрешено преобразовывать часть. (a / b) ^ n = a ^ n / b ^ n.

шестые Заключительные инструкции. Если показатель степени равен нулю, результат экспоненциальности всегда является единицей. Если показатель отрицательный, то это частичное выражение.

Это означает a ^ -n = 1 / a ^ n. Наконец, если показатель является частичным, извлечение корня важно, так как a ^ (n / m) = m? A ^ n.

Похожие видео

Правила обработки ставок

1. Уровень произведения двух или более факторов равен произведению мощности этих факторов (с одинаковым показателем):

(abc …) n = anbncn …

Пример 1.

(7 • 2 • 10) 2 = 72 • 22 • 102 = 49 • 4 • 100 = 19600.Пример 2 (x2 -a2) 3 = [(x + a) (x-a)] 3 = (x + a) 3 (x-a) 3

Обратное преобразование важнее:

anbncn … = (abc …) n

то есть.

Произведение равных количеств нескольких величин равно одинаковому уровню произведения этих величин.

Пример 3.Пример 4.

(A2 — ab + b2) 2 = (a3 + b3) 2 = [(a + b2) 2

2. Коэффициент распределения (дробь) равен коэффициенту деления той же степени деления с той же степенью дивиденда:

Пример 5.Пример 6.

Обратное преобразование:.Пример 7..Пример 8..

третий

При умножении ставок с одинаковыми основаниями мы добавляем показатель:

aman = am + n

Пример 9.22 • 25 = 22 + 5 = 27 = 128.Пример 10.

(a — 4c + x) 2 (a — 4c + x) 3 = (a — 4c + x) 5.

четвёртая

Меры с разрешениями и корнями

При делении ставок с одинаковыми основаниями счетчики дивидендов вычитаются из величины дивиденда

Пример 11 125: 123 = 125-3 = 122 = 144.Пример 12. (x-y) 3: (x-y) 2 = x-y.

5. Когда уровень поднят до мощности, показатели умножаются:

Пример 13 (23) 2 = 26 = 64.Пример 14.

Выражения власти (члены с полномочиями) и их трансформация

← Вернуться назад на «Калькуляторы онлайн»

Будет решение …

Этот калькулятор поможет вам окончил онлайн, как целое, так и десятичное число.

Наш калькулятор позволяет вам поднимать не только положительные, но и отрицательные числа.

Степень, в которой мы можем построить число, может быть отрицательный.

Инструкции для калькулятора

Помните правила округления десятичного знака в соответствующем уроке.

К небольшим номерам (до 20) мы советуем вам узнать сердце, передавая «таблицу градусов» в разделе «Для изучения».

Важно!

Администрация веб-сайта math-prosto.ru указывает, что вы можете освежить свои знания предмета уровня аудитории для 7-го и 8-го классов.

Уменьшение фракций со степенями

Это онлайн-калькулятор, предназначенный для облегчения задачи увеличения количества мощностей. Введенные числа могут быть отрицательными. В десятичных дробях вы можете вводить разделитель, точка и запятая одинаковы.

Вы также можете ввести число «e» в формах полей калькулятора (введите латинский алфавит).

Имейте в виду, что число с отрицательным значением будет размещено на нецелого этапа (диплом с дробным компонентом, поскольку отрицательные числа не определены), ничто не может поднять его до отрицательной энергии.

Использование калькулятора степеней очень просто: когда вы вводите в первом поле слева, укажите базовую мощность (номер, который должен быть установлен для питания), а другой — значение его индекса.

Затем нажмите кнопку «Расчет», чтобы вычислить, результат будет отображаться одним и тем же символом. Чтобы сбросить форму, нажмите кнопку «Сброс».

Например, если вы хотите рассчитать, сколько 5 в 5 степеней, заполните форму следующим образом:

vipstylelife.ru

Как возвести трехчлен в квадрат

Многочлен – алгебраическая конструкция, представляющая собой сумму либо разность элементов. Множество готовых формул касается двучленов, впрочем вывести новые для конструкций больше высокого порядка не составляет большого труда. Дозволено, скажем, построить трехчлен в квадрат .

Инструкция

1. Многочлен является основным представлением для решения алгебраических уравнений и представления степенной, разумной и прочих функций. К этой структуре относится особенно распространенное в школьном курсе предмета квадрат ное уравнение.

2. Зачастую по мере облегчения массивного выражения появляется надобность построить трехчлен в квадрат . Для этого нет готовой формулы, впрочем есть несколько способов. Скажем, представить квадрат трехчлен а в виде произведения 2-х идентичных выражений.

3. Разглядите пример: возведите в квадрат трехчлен 3•х? + 4•х – 8.

4. Измените запись (3•х? + 4•х – 8)? на (3•х? + 4•х – 8)•( 3•х? + 4•х – 8) и воспользуйтесь правилом умножения многочленов, которое состоит в последовательном вычислении произведений. Вначале умножьте первое составляющее первой скобки на всякое слагаемое 2-й, после этого так же поступите со вторым и, наконец, с третьим:(3•х? + 4•х – 8)•( 3•х? + 4•х – 8) = 3•х?•(3•х? + 4•х — 8) + 4•х•(3•х? + 4•х – 8) – 8•(3•х? + 4•х – 8) = 9•х^4 + 12•х? – 24•х? + 12•х? + 16•х? – 32•х – 24•х? – 32•х + 64 = 9•х^4 + 24•х? – 32•х? – 64•х + 64.

5. К тому же итогу дозволено придти, если запомнить, что в итоге перемножения 2-х трехчлен ов остается сумма из шести элементов, три из которых являются квадрат ами всякого слагаемого, а три остальных – их всевозможными попарными произведениями в удвоенной форме. Эта элементарная формула элементарно выглядит так:(a + b + c)? = a? + b? + c? + 2•a•b + 2•a•c + 2•b•c.

6. Примените ее к вашему примеру:(3•х? + 4•х — 8)? = (3•х? + 4•х + (-8))? =(3•х?)? + (4•х)? + (-8)? + 2•(3•х?)•(4•х) + 2•(3•х?)•(-8) + 2•(4•х)•(-8) = 9•х^4 + 16•х? + 64 + 24•х? – 48•х? – 64•х = 9•х^4 + 24•х? — 32•х? — 64•х + 64.

7. Как видите, результат получился тот же, а манипуляций понадобилось поменьше. Это исключительно главно, когда одночлены сами по себе являются трудными конструкциями. Данный метод применим для трехчлен а всякий степени и всякого числа переменных.

При решении арифметических и алгебраических задач изредка требуется построить дробь в квадрат . Проще каждого это сделать, когда дробь десятичная – довольно обыкновенного калькулятора. Впрочем если дробь обычная либо смешанная, то при возведении такого числа в квадрат могут появиться некоторые затруднения.

Вам понадобится

Инструкция

1. Дабы построить десятичную дробь в квадрат , возьмите инженерный калькулятор, наберите на нем возводимую в квадрат дробь и нажмите на клавишу возведения во вторую степень. На большинстве калькуляторов эта кнопка обозначена как «х?». На стандартном калькуляторе Windows функция возведения в квадрат выглядит как «x^2». Скажем, квадрат десятичной дроби 3,14 будет равен: 3,14? = 9,8596.

2. Дабы построить в квадрат десятичную дробь на обыкновенном (бухгалтерском) калькуляторе, умножьте это число само на себя. Кстати, в некоторых моделях калькуляторов предусмотрена вероятность возведения числа в квадрат даже при отсутствии особой кнопки. Следственно заблаговременно ознакомьтесь с инструкцией к определенному калькулятору. Изредка примеры «хитроумного» возведения в степень приведены на задней крышке либо на коробке калькулятора. Скажем, на многих калькуляторах для возведения числа в квадрат довольно нажать кнопки «х» и «=».

3. Для возведения в квадрат обычной дроби (состоящей из числителя и знаменателя), возведите в квадрат по отдельности числитель и знаменатель этой дроби. То есть воспользуйтесь дальнейшим правилом:(ч / з)? = ч? / з?, где ч – числитель дроби, з – знаменатель дроби.Пример: (3/4)? = 3?/4? = 9/16.

4. Если возводимая в квадрат дробь – смешанная (состоит из целой части и обычной дроби), то заблаговременно приведите ее к обычному виду. То есть примените следующую формулу:(ц ч/з)? = ((ц*з+ч) / з)? = (ц*з+ч)? / з?, где ц – целая часть смешанной дроби.Пример: (3 2/5)? = ((3*5+2) / 5)? = (3*5+2)? / 5? = 17? / 5? = 289/25 = 11 14/25.

5. Если возводить в квадрат обычные (не десятичные) дроби доводится непрерывно, то воспользуйтесь программой MS Excel. Для этого введите в одну из клеток таблицы следующую формулу: =СТЕПЕНЬ(A2;2) где А2 – адрес ячейки, в которую будет вводиться возводимая в квадрат дробь .Дабы осведомить программе, что с вводимым числом нужно обращаться как с обычной дробь ю (т.е. не преобразовывать ее в десятичный вид), наберите перед дробь ю цифру «0» и знак «пробел». То есть для ввода, скажем, дроби 2/3 необходимо ввести: «0 2/3» (и нажать Enter). При этом в строке ввода отобразится десятичное представление введенной дроби. Значение и представление дроби непринужденно в клетке сохранится в начальном виде. Помимо того, при применении математических функций, доводами которых являются обычные дроби, итог также будет представлен в виде обычной дроби. Следственно квадрат дроби 2/3 будет представлен как 4/9.

Математические головоломки изредка увлекают так, что хочется обучиться создавать их, а не только решать. Вероятно, самым увлекательным для новичков является создание магического квадрата, тот, что представляет собой квадрат с размерами сторон nxn, в тот, что вписаны настоящие числа от 1 до n2 так, что сумма чисел по горизонталям, вертикалям и диагоналям квадрата является идентичной и равняется одному числу.

Инструкция

1. Раньше чем составлять свой квадрат, усвойте, что магических квадратов второго порядка не бывает. Волшебный квадрат третьего порядка существует реально только один, остальные производные от него получаются с подмогой поворота либо отражения основного квадрата по оси симметрии. Чем огромнее порядок, тем огромнее существует допустимых волшебных квадратов этого порядка.

2. Изучите основы построения. Правила построения различных магических квадратов подразделяются на три группы по порядку квадрата, а именно он может быть нечетным, равным удвоенному либо учетверенному нечетному числу. Всеобщей методологии для построения всех квадратов в текущее время не существует, правда обширно распространены различные схемы.

3. Воспользуйтесь компьютерной программой. Скачайте надобное приложение и введите желаемые значения квадрата (2-3), программа сама генерирует надобные цифровые комбинации.

4. Постройте квадрат независимо. Возьмите матрицу n x n , внутри которой произведите построение ступенчатого ромба. В нем заполните все квадратики слева и вверх по каждым диагоналям последовательностью нечетных чисел.

5. Определите значение центральной ячейки О. В углах магического квадрата расположите такие числа: верхняя правая ячейка — О-1, нижняя левая — О+1, правая внизу — О-n, а левая вверху — О+n. Пустые ячейки в угловых треугольниках заполните, применяя довольно примитивные правила: в строках по направлению слева направо числа возрастают на n + 1, а в столбиках по направлению сверху вниз числа возрастают на n-1.

6. Найти все квадраты с порядком равным n получается только для n\le 4, следственно увлекательны отдельные процедуры для построения магических квадратов с n > 4. Проще каждого рассчитать проектирование такого квадрата нечетного порядка. Воспользуйтесь особой формулой, куда требуется примитивно поставить нужные данные для приобретения желаемого итога. Скажем, константа квадрата, построенного по схеме с рис. 1, вычисляется по формуле: S = 6a1 +105b, где a1 – 1-й член прогрессии, b – разность прогрессии.

7. Для квадрата, изображенного на рис. 2, формула: S = 6*1 + 105*2 = 216

8. Помимо этого, существуют алгорифмы для построения пандиагональных квадратов и совершенных магических квадратов. Воспользуйтесь особыми программами построения этих моделей.

Обратите внимание! Волшебные, либо магические, квадраты привлекали математиков с самых древних времен, но изложения всех допустимых квадратов нет и по сей день. Самый легкой волшебный квадрат согласно старинной китайской легенде был изображен на спине крупный священной черепахи.

«Уравнением» в математике именуется запись, содержащую некоторые математические либо алгебраические действия и непременно включающую в себя знак равенства. Впрочем почаще этим представлением обозначают не тождество в совокупности, а только его левую часть. Следственно задача возведения уравнения в квадрат скорее каждого полагает использование этой операции только к одночлену либо многочлену в левой части равенства.

Инструкция

1. Умножьте уравнение на само себя — это и есть операция возведения во вторую степень, то есть в квадрат . Если начальное выражение содержит переменные в какой-нибудь степени, то показатель степени следует увеличить в два раза. Скажем, (4*x?)? = (4*x?)*(4*x?) = 16*x?. Если присутствующие в уравнении численные показатели умножить в уме не представляется допустимым, то используйте калькулятор, онлайн-вычислитель либо сделайте это на бумаге, «в столбик».

2. Если начальное выражение содержит несколько складываемых либо вычитаемых переменных с численными показателями (то есть является многочленом), то придется осуществлять операцию умножения по соответствующим правилам. Это обозначает, что следует перемножить весь член уравнения -множимого на весь член уравнения -множителя, а после этого упростить полученное выражение. Тот факт, что в вашем случае оба уравнения идентичны, ничего не меняет в этом правиле. Скажем, если построить в квадрат требуется уравнение x?+4-3*x, то всю операцию дозволено записать в таком виде: (x?+4-3*x)? = (x?+4-3*x)*(x?+4-3*x) = x?+4*x?-3*x? + 4*x?+16-12*x — 3*x?-12*x+9*x?. Полученное выражение следует упростить и, если это допустимо, расположить степенные члены в порядке убывания показателя степени: x?+4*x?-3*x? + 4*x?+16-12*x — 3*x?-12*x+9*x? = x? — 6*x? + 25*x? — 24*x + 16.

3. Формулы возведения в квадрат некоторых особенно зачастую встречающихся выражений отличнее запомнить назубок. В школе их обыкновенно включают в список, называемый «формулами сокращенного умножения». В него относят, в частности, формулы возведения во вторую степень суммы 2-х переменных (x+y)? = x?+2*x*y+y?, их разности (x-y)? = x?-2*x*y+y?, суммы 3 слагаемых (x+y+z)? = x?+y?+z?+2*x*y+2*y*z+2*x*z и разности 3 слагаемых (x-y-z)? = x?+y?+z?-2*x*y+2*x*y-2*z.

Видео по теме

Способ выделения квадрата двучлена используется при облегчении массивных выражений, а также для решения квадратных уравнений. На практике его обыкновенно комбинируют с другими приемами, включая разложение на множители, группировку и пр.

Инструкция

1. Способ выделения полного квадрата двучлена основан на применении 2-х формул сокращенного умножения многочленов. Эти формулы являются частными случаями Бинома Ньютона для 2-й степени и разрешают упростить желанное выражение так, дабы дозволено было провести дальнейшее сокращение либо разложение на множители:(m + n)² = m² + 2·m·n + n²;(m — n)² = m² — 2·m·n + n².

2. Согласно этому способу из начального многочлена требуется выделить квадраты 2-х одночленов и сумму/разность их двойного произведения. Использование этого способа имеет толк, если старшая степень слагаемых не поменьше 2. Представим, дано задание разложить на множители с понижением степени следующее выражение:4·y^4 + z^4

3. Для решения задачи надобно воспользоваться способом выделения полного квадрата. Выходит, выражение состоит из 2-х одночленов с переменными четной степени. Следственно, дозволено обозначить всякий из них через m и n:m = 2·y²; n = z².

4. Сейчас надобно привести начальное выражение к виду (m + n)². В нем теснее присутствуют квадраты этих слагаемых, но не хватает двойного произведения. Надобно добавить его неестественно, а потом вычесть:(2·y²)² + 2·2·y²·z² + (z²)² — 2·2·y² ·z² = (2·y² + z²)² – 4·y²·z².

5. В получившемся выражении дозволено увидеть формулу разности квадратов:(2·y² + z²)² – (2·y·z)² = (2·y² + z² – 2·y·z)· (2·y² + z² + 2·y·z).

6. Выходит, способ состоит из 2-х этапов: выделение одночленов полного квадрата m и n, прибавление и вычитание их двойного произведения. Способ выделения полного квадрата двучлена может использоваться не только самосильно, но и в комбинации с другими способами: вынесения за скобки всеобщего множителя, замена переменной, группировки слагаемых и пр.

7. Пример 2.Выделите полный квадрат в выражении:4·y² + 2·y·z + z².Решение.4·y² + 2·y·z + z² =[m = 2·y, n = z] = (2·y)² + 2·2·y·z + (z) ² – 2·y·z = (2·y + z)² – 2·y·z.

8. Способ используется при нахождении корней квадратного уравнения. Левая часть уравнения представляет собой трехчлен вида a·y? + b·y + c, где a, b и c – какие-то числа, причем a ? 0. a·y? + b·y + c = a·(y? + (b/a)·y) + c = a·(y? + 2·(b/(2·a))·y) + c = a·(y? + 2·(b/(2·a))·y + b?/(4·a?)) + c – b?/(4·a) = a·(y + b/(2·a)) ? – (b? – 4·a·c)/(4·a).

9. Эти расчеты приводят к представлению дискриминанта, тот, что равен (b? – 4·a·c)/(4·a), а корни уравнения равны:y_1,2 = ±(b/(2•a)) ± ? ((b? – 4·a·c)/(4·a)).

Есть несколько способов решения квадратного уравнения, особенно общеизвестный – выделить из трехчлена квадрат двучлена. Данный метод приводит к вычислению дискриминанта и обеспечивает одновременный поиск обоих корней.

Инструкция

1. Алгебраическое уравнение 2-й степени именуется квадратным. Классическая форма левой стороны этого уравнения представляет собой многочлен a•x? + b•x + c. Дабы вывести формулу для решения, нужно выделить из трехчлена квадрат двучлена. Это дозволено осуществить двумя методами. Перенесите вольный член с в правую сторону со знаком минус:a•x? + b•x = -c.

2. Умножьте обе стороны уравнения на 4•а:4•a?•x? + 4•a•b•x = -4•a•c.

3. Прибавьте выражение b?:4•a?•x? + 4•a•b•x + b? = -4•a•c + b?.

4. Видимо, что слева получилась развернутая форма квадрата двучлена, состоящего из слагаемых 2•a•x и b. Сверните данный трехчлен в полный квадрат:(2•a•x + b)? = b? – 4•a•c ? 2•a•x + b = ±?(b? – 4•a•c)

5. Откуда:x1,2 = (-b ± ?(b? – 4•a•c))/2•a.Разность, стоящая под знаком корня, именуется дискриминантом, а формула является общеизвестной для решения сходственных уравнений.

6. 2-й метод подразумевает выделение из одночлена первой степени удвоенного произведения элементов. Т.е. нужно определить из слагаемого вида b•x, какие множители могут быть использованы для полного квадрата. Данный способ отменнее разглядеть на примере:x? + 4•x + 13 = 0

7. Посмотрите на одночлен 4•x. Видимо, что его дозволено представить в виде 2•(2•x), т.е. удвоенного произведения х и 2. Следственно, выделять надобно квадрат суммы (х + 2). Для полноты картины не хватает слагаемого 4, которое дозволено взять из свободного члена:x? + 4•x + 4 — 9 ? (x + 2)? = 9

8. Извлеките квадратный корень:x + 2 = ±3 ? x1 = 1; x2 = -5.

9. Способ выделения квадрата двучлена обширно используется для облегчения массивных алгебраических выражений наравне с другими методами: группировка, замена переменной, вынесение всеобщего множителя за скобку и т.д. Полный квадрат является одной из формул сокращенного умножения и частным случаем Бинома Ньютона.

jprosto.ru

Как возвести дробь в квадрат

При решении арифметических и алгебраических задач иногда требуется возвести дробь в квадрат. Проще всего это сделать, когда дробь десятичная – достаточно обычного калькулятора. Однако если дробь обыкновенная или смешанная, то при возведении такого числа в квадрат могут возникнуть некоторые затруднения.

Вам понадобится

калькулятор, компьютер, приложение Excel.

Спонсор размещения P&G Статьи по теме "Как возвести дробь в квадрат" Как складывать квадратные корни Как найти диагональ квадрата Как найти координаты вершины параболы

Инструкция

1

Чтобы возвести десятичную дробь в квадрат, возьмите инженерный калькулятор, наберите на нем возводимую в квадрат дробь и нажмите на клавишу возведения во вторую степень. На большинстве калькуляторов эта кнопка обозначена как «х?». На стандартном калькуляторе Windows функция возведения в квадрат выглядит как «x^2». Например, квадрат десятичной дроби 3,14 будет равен: 3,14? = 9,8596.

2

Чтобы возвести в квадрат десятичную дробь на обычном (бухгалтерском) калькуляторе, умножьте это число само на себя. Кстати, в некоторых моделях калькуляторов предусмотрена возможность возведения числа в квадрат даже при отсутствии специальной кнопки. Поэтому предварительно ознакомьтесь с инструкцией к конкретному калькулятору. Иногда примеры «хитрого» возведения в степень приведены на задней крышке или на коробке калькулятора. Например, на многих калькуляторах для возведения числа в квадрат достаточно нажать кнопки «х» и «=».

3

Для возведения в квадрат обыкновенной дроби (состоящей из числителя и знаменателя), возведите в квадрат по отдельности числитель и знаменатель этой дроби. То есть воспользуйтесь следующим правилом:

(ч / з)? = ч? / з?, где ч – числитель дроби, з – знаменатель дроби.

Пример: (3/4)? = 3?/4? = 9/16.

4

Если возводимая в квадрат дробь – смешанная (состоит из целой части и обыкновенной дроби), то предварительно приведите ее к обыкновенному виду. То есть примените следующую формулу:

(ц ч/з)? = ((ц*з+ч) / з)? = (ц*з+ч)? / з?, где ц – целая часть смешанной дроби.

Пример: (3 2/5)? = ((3*5+2) / 5)? = (3*5+2)? / 5? = 17? / 5? = 289/25 = 11 14/25.

5

Если возводить в квадрат обыкновенные (не десятичные) дроби приходится постоянно, то воспользуйтесь программой MS Excel. Для этого введите в одну из клеток таблицы следующую формулу:

=СТЕПЕНЬ(A2;2) где А2 – адрес ячейки, в которую будет вводиться возводимая в квадрат дробь.

Чтобы сообщить программе, что с вводимым числом необходимо обращаться как с обыкновенной дробью (т.е. не преобразовывать ее в десятичный вид), наберите перед дробью цифру «0» и знак «пробел». То есть для ввода, например, дроби 2/3 нужно ввести: «0 2/3» (и нажать Enter). При этом в строке ввода отобразится десятичное представление введенной дроби. Значение и представление дроби непосредственно в клетке сохранится в исходном виде. Кроме того, при использовании математических функций, аргументами которых являются обыкновенные дроби, результат также будет представлен в виде обыкновенной дроби. Следовательно квадрат дроби 2/3 будет представлен как 4/9.

Как просто

masterotvetov.com

Как возвести дробь в квадрат

При решении арифметических и алгебраических задач иногда требуется возвести дробь в квадрат. Проще всего это сделать, когда дробь десятичная – достаточно обычного калькулятора. Однако если дробь обыкновенная или смешанная, то при возведении такого числа в квадрат могут возникнуть некоторые затруднения.

Вам понадобится

Инструкция

completerepair.ru