Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника. Как найти радиус описанной окружности в треугольник равнобедренный
Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника
Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника можно найти по одной из общих формул радиуса окружности, описанной около треугольника.
Используя свойства равнобедренного треугольника, можно также получить дополнительные формулы.
I. Радиус описанной около треугольника окружности можно найти по формуле
Площадь равнобедренного треугольника через длину основание a и боковую сторону b можно найти по формуле
соответственно, формула для нахождения радиуса описанной окружности для равнобедренного треугольника принимает вид:
отсюда
II. Формула — следствие из теоремы синусов
верна и для равнобедренного треугольника.
Радиус описанной около равнобедренного треугольника окружности:
где a — основание, b — боковая сторона, α — угол при вершине, β — угол при основании.
III. Радиус описанной окружности в равнобедренном треугольнике можно найти непосредственно, без использования общих формул.
Например, в прямоугольном треугольнике AOF AO=R, AF=b/2, ∠FAO=α/2. Отсюда
IV. В равнобедренном тупоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит вне треугольника, напротив его вершины.
Радиус находят по тем же формулам, что и для остроугольного треугольника.
V. В равнобедренном прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, радиус равен половине гипотенузы (то есть половине основания треугольника).
Если AB=a,
www.treugolniki.ru
Радиус описанной окружности | Треугольники
Удобно, когда все формулы, по которым можно найти радиус описанной окружности для треугольника, квадрата, многоугольника размещены на одной странице.
Радиус описанной окружности для произвольного треугольника
Формулы для нахождения радиуса описанной окружности треугольника (верны для треугольника любого вида):
где a, b, c — длины сторон треугольника, α, β, γ — противолежащие этим сторонам углы, S — площадь треугольника.
Центр описанной окружности лежит:
у остроугольного треугольника — внутри треугольника;
у прямоугольного — на середине гипотенузы;
у тупоугольного — вне треугольника, напротив тупого угла.
Радиус описанной окружности для прямоугольного треугольника
Радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности равен половине гипотенузы:
Окружность, описанная около многоугольника
Если около многоугольника можно описать окружность, ее центр является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.
Радиус описанной около многоугольника окружности находят как радиус окружности, описанной около треугольника. Для этого берут любые три вершины многоугольника.
Например, для пятиугольника ABCDE можно взять любой из треугольников ABC, ABD, ABE, BCD, BCE, CDE, ACD, ACE, ADE, BDE.
Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника
Формула радиуса описанной окружности для правильного многоугольника
где a — длина стороны многоугольника, n — количество его сторон.
Частные случаи — правильный треугольник, правильный четырехугольник (то есть квадрат), правильный шестиугольник.
Радиус описанной окружности правильного треугольника
Формула радиуса описанной окружности для правильного треугольника
Если без иррациональности в знаменателе —
У правильного треугольника радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности:
Радиус описанной окружности квадрата
Формула радиуса описанной окружности для квадрата
Если без иррациональности в знаменателе —
Радиус описанной окружности правильного шестиугольника
Формула радиуса описанной окружности для правильного шестиугольника
Радиус описанной окружности равностороннего треугольника
- сторона треугольника
- высота
- радиус описанной окружности
Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через его сторону:
Калькулятор - вычислить, найти радиус описанной окружности равностороннего треугольника по стороне
Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через высоту:
Калькулятор - вычислить, найти радиус описанной окружности равностороннего треугольника по стороне
Подробности Автор: Administrator Опубликовано: 09 сентября 2011 Обновлено: 20 мая 2017
www-formula.ru
Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник
Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, можно найти по стандартной формуле.
Свойства равнобедренного треугольника дают возможность получить дополнительные формулы. Рассмотрим некоторые из них.
Поскольку для равнобедренного треугольника полупериметр
то
Так как формула площади равнобедренного треугольника по формуле Герона равна
то
Эту формулу можно упростить
Таким образом, радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, равен
Если найти площадь по боковой стороне b и высоте, проведенной к основанию ha:
то получим еще одну формулу для нахождения радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности:
Так как центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения биссектрис треугольника, если известны углы при вершине и основании
то
Из прямоугольного треугольника AOF
Если известна боковая сторона и угол при основании, из прямоугольного треугольника ACF найдем AF
а затем из треугольника AOF — OF:
Эти формулы могут помочь ускорить вычисления. Запоминать их необязательно, достаточно повторить рассуждения.
Равнобедренный треугольник
Определение равнобедренного треугольника
Равнобедренный треугольник — это треугольник, в котором длины двух его сторон равны между собой.Примечание. Из определения равнобедренного треугольника следует, что правильный треугольник также является равнобедренным. Однако, необходимо помнить, что обратное утверждение - неверно.
Свойства равнобедренного треугольника
Свойства, приведенные ниже, используются при решении задач. Поскольку они широко известны, то подразумевается, что они не нуждаются в пояснении. Поэтому в текстах задач ссылка на них опущена.- Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой.
- Биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из углов, противолежащих равным сторонам треугольника, равны между собой.
- Биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию, совпадают между собой.
- Центры вписанной и описанной окружностей лежат на высоте, биссектрисе и медиане (они совпадают) проведенных к основанию.
- Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, всегда острые.
Стороны в равнобедренном треугольнике могут быть вычислены с помощью формул, выражающих их длину через другие стороны и углы, величина которых известна.
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна частному от деления основания на двойной косинус угла при основании (Формула 1). Данное тождество может быть получено путем несложных преобразований из теоремы косинусов.
Основание равнобедренного треугольника равно произведению боковой стороны на квадратный корень из удвоенной разности единицы и косинуса угла при вершине (Формула 2)
Основание равнобедренного треугольника равно удвоенному произведению боковой стороны на синус половины угла при вершине. (Формула 3)
Основание равнобедренного треугольника равно удвоенному произведению боковой стороны на косинус угла при его основании (Формула 4).
Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник
 |
Обозначения в формулах, можно посмотреть на рисунке выше. Радиус вписанной окружности для равнобедренного треугольника можно найти, исходя из величин основания и каждой стороны. (Формула 1) Радиус вписанной окружности для равнобедренного треугольника можно определить,исходя из величин основания и высоты, проведенной к этому основанию (Формула 2) Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности можно также вычислить через длину боковой стороны и высоту, проведенную к основанию треугольника (Формула 3) Знание величины угла между боковыми сторонами и длины основания также позволяет определить радиус вписанной окружности (Формула 4) Аналогичная формула (5) позволяет определить радиус вписанной окружности через боковые стороны и угол между ними |
Признаки равнобедренного треугольника
- Два угла треугольника равны
- Высота совпадает с медианой
- Высота совпадает с биссектрисой
- Биссектриса совпадает с медианой
- Две высоты равны
- Две медианы равны
- Две биссектрисы равны
Площадь равнобедренного треугольника
Площадь равнобедренного треугольника находится по следующим формулам:
,
где a - длина одной из двух равных сторон треугольника b - длина основания α - величина одного из двух равных углов при основании β - величина угла между равными сторонами треугольника и противолежащего его основанию.
См. также "Площадь треугольника".
Содержание главы:profmeter.com.ua
Радиус вписанной и описанной окружности: полезные формулы. Задание С4
В этой статье я хочу привести несколько полезных формул, которые помогают легко найти радиус вписанной и описанной окружности, и показать решение задачи из задания С4 с использованием этих формул.
1. Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности:
. где , r - радиус вписанной окружности.
Отсюда:
То есть радиус вписанной окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру.
Для прямоугольного треугольника , , тогда
где и - катеты треугольника, а - гипотенуза.
2. Площадь треугольника равна отношению произведения его сторон к учетверенному радиусу описанной окружности:
Отсюда:
Радиус окружности, описанной около треугольника, равен отношению произведения сторон треугольника к его учетверенной площади.
3. По теореме синусов, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности:
Отсюда:
Радиус окружности, описанной около треугольника, равен отношению стороны треугольника к удвоенному синусу противолежащего угла.
Предлагаю вам посмотреть ВИДЕОРЕШЕНИЕ задачи:
Угол при основании равнобедренного треугольника равен . Найдите отношение радиуса вписанной в этот треугольник окружности к радиусу описанной окружности:
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
ege-ok.ru
Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник
1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: стороны и угол
a - равные стороны равнобедренного треугольника
b - сторона ( основание)
α - угол при основании
О - центр вписанной окружности
r - радиус вписанной окружности
Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через стороны ( r ) :
Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и угол ( r ) :
2. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: сторона и высота
a - равные стороны равнобедренного треугольника
b - сторона ( основание)
h - высота
О - центр вписанной окружности
r - радиус вписанной окружности
Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и высоту ( r ) :
Подробности Автор: Administrator Опубликовано: 09 сентября 2011 Обновлено: 27 мая 2017www-formula.ru
