ГлавнаяРазноеОпределить период функции

Как определить периодичность функции. Определить период функции


Периодичность функций

В этой статье обсуждаем периодичность функций: как определить, периодична ли  функция, и каков ее период.

Функция периодична, если  некоторый набор ее значений повторяется раз за разом, и точки с одинаковыми значениями функции расположены на числовой оси с равными промежутками. Это расстояние и будем называть периодом. Периодичная функция может иметь и несколько периодов, самый маленький положительный из них будем называть основным.

Тогда, если мы знаем период, мы можем, зная все значения функции на протяжении данного периода, достроить функцию, либо узнать ее значения в любой точке числовой оси – то есть при любом аргументе.

Периодичная функция

 

Пример 1: функция f(x)

имеет период, равный 2: T=2 и f(x)=x^2+2x при x in[-2; 0]. Найдите значение выражения -2f(-3)-4f(3,5).

Раз наша функция принимает форму части параболы на отрезке [-2; 0] при периоде, равном 2, значит, такую же форму она будет иметь и на следующем отрезке – [0;2], и на отрезке [2;4]. Изобразим ее:

Определение значения периодичной функции

Видно, что функция принимает одинаковые значения в точках, отстоящих друг от друга на 2, 4, 6  единиц и т.д., тогда f(-3)= f(-1), f(3,5)=f(-0,5). Найдем эти значения функции. В точке (-1) функция принимает значение f(-1)=(-1)^2-2=-1, в точке (3,5) функция принимает значение f(-0,5)=(-0,5)^2+2(-0,5)=-0,75.

Теперь найдем значение искомого выражения: -2f(-3)-4f(3,5)=-2(-1)-4(-0,75)=5.

Строго говоря, функция периодична, если есть такое число Т, что f(x+T)=f(x).

Попробуем научиться определять, периодична ли функция или нет. Для этого рассмотрим несколько примеров.

Пример 2. Проверим, периодична ли функция f(x)=sqrt{x}.

Установим, выполняется ли условие: f(x+T)=f(x), то есть sqrt{x+T}= sqrt{x}? Очевидно, что данное условие не выполняется. Значит, функция непериодична.

Пример 3. Проверим, периодична ли функция f(x)= x^2-2x+4.

Функцию для удобства представим в виде: f(x)= (x-2)^2.

Установим, выполняется ли условие: f(x+T)=f(x), то есть (x-2)^2= (x+T-2)^2? Очевидно, что данное условие не выполняется: . Значит, функция непериодична.

Пример 4. Проверим, периодична ли функция f(x)=delim{|}{cos x}{|}. Если функция периодична, то будет выполняться условие: f(x+T)=f(x), то есть delim{|}{cos x}{|}= delim{|}{cos (x+T)}{|}. Поскольку нам все равно, в какой точке числовой оси мы проведем свое исследование, то очень удобно начать с точки x=0. Тогда  delim{|}{cos 0}{|}= delim{|}{cos (0+T)}{|}, или delim{|}{cos T}{|}=1. Это означает, что либо  cos T=1, либо cos T=-1,  то есть либо T=2{pi},  либо T={pi},  а так как главным считается наименьший  положительный период, то T={pi}.

Определение периода функции

В данном примере делать проверку необязательно, но проверка бывает очень полезна в более сложных задачах, поэтому сделаем ее здесь для тренировки: delim{|}{cos (x+pi)}{|}= delim{|}{-cos x}{|}= delim{|}{cos x}{|}=f(x).

 Пример 5. Определить периодичность функции f(x)=cos (2x)+2sin (2x).

Если Т – период, то cos 2(x+T)+2sin 2(x+T)= cos (2x)+2sin (2x).

В это равенство подставим какие-нибудь «удобные» точки, например, pi. Получим:

cos (2{pi}+2T)+2sin (2pi+2T)= cos (2{pi})+2sin (2{pi})

cos (2T)+2sin (2T)=1

Далее есть два пути отыскания периода, первый – решение этого уравнения, второй – составление еще одного уравнения такого же вида. Если функция имеет период Т, то верно и следующее: cos 2(x-T)+2sin 2(x-T)= cos (2x)+2sin (2x). Подставим  «удобную» точку pi:

cos (2{pi}-2T)+2sin (2{pi}-2T)= cos (2{pi})+2sin (2{pi})

cos (-2T)+2sin (-2T)=1

Пользуясь четностью косинуса  и нечетностью синуса можем записать:

cos (2T)-2sin (2T)=1

Имеем систему:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{ cos (2T)-2sin (2T)=1} { cos (2T)+2sin (2T)=1}}}{ }

Уравнения сложим, и получим

2cos (2T)=2, откуда

cos (2T)=1

2T=2{pi}n, при n=1 получим  T={pi} – ведь нам нужен наименьший период.

Теперь испробуем второй путь, решим это уравнение: cos (2T)-2sin (2T)=1. Из основного тригонометрического тождества:

{sqrt{1-{sin {2T}}^2}}+2{sin {2T}}=1

Оставим в левой части только корень:

sqrt{1-{sin {2T}}^2}=1-2{sin {2T}}

Возведем в квадрат:

1-(sin {2T})^2=1-4sin 2T+4(sin {2T})^2

5(sin {2T})^2-4sin {2T}=0

{sin {2T}}(5sin {2T}-4)=0

Тогда либо sin {2T}=0, либо 5sin {2T}-4=0 и sin {2T}=4/5.

Это уравнение имеет два решения, одно из которых (второе) – посторонний корень, появившийся при возведении в квадрат. Проверка подстановкой его в исходное уравнение позволит нам выявить его и отбросить. Таким образом, получаем:

sin {2T}=0

2T={pi}n и наименьшим будет период при n=1, то есть T={pi}.

Здесь также необходимо сделать проверку. Подставим полученный период в условие  f(x+T)=f(x):

cos (2x+2{pi})+2sin (2x+2{pi})= cos (2x)+2sin (2x)=f(x), то есть

период данной функции – T={pi}.

Определение периода функции

Пример 6. Определить периодичность функции f(x)= delim{|}{{sin}{delim{|}{x}{|}}}{|} и найти ее основной период.

Если Т – период, то delim{|}{{sin}{delim{|}{x}{|}}}{|}= delim{|}{{sin}{delim{|}{x+T}{|}}}{|}

Подставим x=0, имеем

delim{|}{{sin}{delim{|}{0}{|}}}{|}= delim{|}{{sin}{delim{|}{T}{|}}}{|},

Или sin T= 0, T= {pi}n, наименьший период при n=1, T= {pi}.

Проверим:

delim{|}{{sin}{delim{|}{x+{pi}}{|}}}{|}= delim{|}{{sin}{delim{|}{x}{|}}}{|}

Определение периода функции

Пример 7. Определим период функции f(x)=sin 4x.

Запишем условие периодичности:

sin 4(x+T)=sin 4x, если x=0, то

sin 4T=sin 0=0, откуда  4T= {pi}n, T= {{pi}n}/4. При n=1, T= {pi}/4, при n=2, T= {pi}/2. Проверкой можно показать, что T= {pi}/4 периодом не является. Тогда T= {pi}/2. Действительно:

sin 4(x+{pi}/2)=sin (4x+2{pi})=sin 4x

Определение периода функции

Пример 8. Доказать, что периодом функции f(x)=cos x-1 является T=2{pi}.

Тогда: cos x-1= cos (x+2{pi})-1= cos x-1

Пример 9. Доказать, что периодом функции f(x)= sin (x-{pi}/4) является T=2{pi}.

Тогда: sin (x-pi/4)= sin (x+2pi-pi/4)= sin (x+7pi/4)

Если x=0, то

sin({-pi}/4)= sin ({7pi}/4), а  так как {-pi}/4 и {7pi}/4 –  одна и та же точка на единичной окружности, то равенство выполняется.

Удачи вам в учебе и надеюсь, эта статья вам помогла.

easy-physic.ru

как найти период функции

Как найти период функции вида y=Af(kx+b), где A, k и b — некоторые числа? Поможет формула периода функции

    \[{T_1} = \frac{T}{{\left| k \right|}}\]

где T — период функции y=f(x). Эта формула позволяет быстро найти период тригонометрических функций такого вида. Для функций y=sin x и y=cos x наименьший положительный период T=2п, для y=tg x и y=ctg x T=п. Рассмотрим на конкретных примерах, как найти период функции, используя данную формулу.

Найти период функции:

1) y=5sin(3x-п/8).

Здесь А=5, k=3, b=-п/8. Для нахождения периода нам нужно только k — число, стоящее перед иксом. Поскольку период синуса T=2п, то период данной функции

    \[{T_1} = \frac{T}{{\left| k \right|}} = \frac{{2\pi }}{{\left| 3 \right|}} = \frac{{2\pi }}{3}.\]

    \[2)y = \frac{2}{7}\cos (\frac{\pi }{5} - \frac{x}{{11}})\]

А=2/7, k=-1/11, b=п/5. Поскольку период косинуса T=2п, то

    \[{T_1} = \frac{T}{{\left| k \right|}} = \frac{{2\pi }}{{\left| { - \frac{1}{{11}}} \right|}} = 2\pi \cdot 11 = 22\pi .\]

    \[3)y = 0,3tg(\frac{{5x}}{9} - \frac{\pi }{7})\]

А=0,3, k=5/9, b=п/7. Период тангенса равен п, поэтому период данной функции

    \[{T_1} = \frac{T}{{\left| k \right|}} = \frac{\pi }{{\left| {\frac{5}{9}} \right|}} = \frac{{9\pi }}{5}.\]

    \[4)y = 9ctg(0,4x - 7)\]

А=9, k=0,4, b=-7. Период котангенса равен п, поэтому период данной функции есть

    \[{T_1} = \frac{T}{{\left| k \right|}} = \frac{\pi }{{\left| {0,4} \right|}} = \frac{{10\pi }}{4} = \frac{{5\pi }}{2}.\]

 

www.uznateshe.ru

Как определить периодичность функции | Сделай все сам

По школьным урокам математики всякий помнит график синуса, равномерными волнами уходящий вдаль. Аналогичным свойством — повторяться через определенный интервал — владеют и многие другие функции. Они именуются периодическими. Периодичность — дюже значимое качество функции, зачастую встречающееся в разных задачах. Следственно благотворно уметь определять, является ли функция периодической.

Инструкция

1. Если F(x) — функция довода x, то она именуется периодической, если есть такое число T, что для всякого x F(x + T) = F(x). Это число T и именуется периодом функции.Периодов может быть и несколько. Скажем, функция F = const для всяких значений довода принимает одно и то же значение, а потому всякое число может считаться ее периодом.Традиционно математика волнует минимальный не равный нулю период функции. Его для краткости и называют примитивно периодом.

2. Типичный пример периодических функций — тригонометрические: синус, косинус и тангенс. Их период идентичен и равен 2?, то есть sin(x) = sin(x + 2?) = sin(x + 4?) и так дальше. Впрочем, разумеется, тригонометрические функции — не исключительные периодические.

3. Касательно примитивных, базовых функций исключительный метод установить их периодичность либо непериодичность — вычисления. Но для трудных функций теснее есть несколько примитивных правил.

4. Если F(x) — периодическая функция с периодом T, и для нее определена производная, то эта производная f(x) = F?(x) — тоже периодическая функция с периодом T. Чай значение производной в точке x равно тангенсу угла наклона касательной графика ее первообразной в этой точке к оси абсцисс, а от того что первообразная периодично повторяется, то должна повторяться и производная. Скажем, производная от функции sin(x) равна cos(x), и она периодична. Беря производную от cos(x), вы получите –sin(x). Периодичность сохраняется постоянно.Впрочем обратное не неизменно правильно. Так, функция f(x) = const периодическая, а ее первообразная F(x) = const*x + C — нет.

5. Если F(x) — периодическая функция с периодом T, то G(x) = a*F(kx + b), где a, b, и k — константы и k не равно нулю — тоже периодическая функция, и ее период равен T/k. Скажем sin(2x) — периодическая функция, и ее период равен ?. Наглядно это дозволено представить так: умножая x на какое-либо число, вы как бы сжимаете график функции по горизонтали именно в столько раз

6. Если F1(x) и F2(x) — периодические функции, и их периоды равны T1 и T2 соответственно, то сумма этих функций тоже может быть периодической. Впрочем ее период не будет легкой суммой периодов T1 и T2. Если итог деления T1/T2 — разумное число, то сумма функций периодична, и ее период равен наименьшему всеобщему кратному (НОК) периодов T1 и T2. Скажем, если период первой функции равен 12, а период 2-й — 15, то период их суммы будет равен НОК (12, 15) = 60.Наглядно это дозволено представить так: функции идут с различной «шириной шага», но если отношение их ширин осмысленно, то рано либо поздно (а вернее, именно через НОК шагов), они вновь сравняются, и их сумма начнет новейший период.

7. Впрочем если соотношение периодов иррационально, то суммарная функция не будет периодической совсем. Скажем, пускай F1(x) = x mod 2 (остаток от деления x на 2), а F2(x) = sin(x). T1 тут будет равен 2, а T2 равен 2?. Соотношение периодов равняется ? — иррациональному числу. Следственно, функция sin(x) + x mod 2 не является периодической.

Многие математические функции имеют одну специфика, облегчающую их построение, — это периодичность , то есть повторяемость графика на координатной сетке через равные интервалы.

Инструкция

1. Самыми вестимыми периодическими функциями математики являются синусоида и косинусоида. Эти функции имеют волнообразный нрав и стержневой период, равный 2П. Также частным случаем периодической функции является f(x)=const. На позицию х подходит всякое число, основного периода данная функция не имеет, потому что представляет собой прямую.

2. Вообще функция является периодической, если существует такое целое число N, которое отменно от нуля и удовлетворяет правилу f(x)=f(x+N), таким образом обеспечивая повторяемость. Период функции — это и есть наименьшее число N, но не нуль. То есть, скажем, функция sin x равна функции sin (x+2ПN), где N=±1, ±2 и т.д.

3. Изредка при функции может стоять множитель (скажем sin 2x), тот, что увеличит либо сократит период функции. Для того дабы обнаружить период по графику , нужно определить экстремумы функции — самую высокую и самую низкую точки графика функции. Потому что синусоида и косинусоида имеют волнообразный нрав, это довольно легко сделать. От данных точек постройте перпендикулярные прямые до пересечения с осью Х.

4. Расстояние от верхнего экстремума до нижнего будет половиной периода функции. Комфортнее каждого вычислять период от пересечения графика с осью Y и, соответственно, нулевой отметки по оси х. Позже этого нужно умножить полученное значение на два и получить стержневой период функции.

5. Для простоты построения графиков синусоиды и косинусоиды нужно подметить, что если при функции стоит целое число, то ее период удлинится (то есть 2П необходимо умножить на этот показатель) и график будет выглядеть больше мягко, плавно; а если число дробное, напротив, сократится и график станет больше «острым», скачкообразным на вид.

Видео по теме

jprosto.ru

Как определить периодичность функции

Содержание

  1. Инструкция

Как определить периодичность функции

По школьным урокам математики каждый помнит график синуса, равномерными волнами уходящий вдаль. Аналогичным свойством — повторяться через определенный промежуток — обладают и многие другие функции. Они называются периодическими. Периодичность — очень важное свойство функции, часто встречающееся в различных задачах. Поэтому полезно уметь определять, является ли функция периодической.

Инструкция

  • Если F(x) — функция аргумента x, то она называется периодической, если есть такое число T, что для любого x F(x + T) = F(x). Это число T и называется периодом функции.Периодов может быть и несколько. Например, функция F = const для любых значений аргумента принимает одно и то же значение, а потому любое число может считаться ее периодом.Обычно математика интересует наименьший не равный нулю период функции. Его для краткости и называют просто периодом.
  • Классический пример периодических функций — тригонометрические: синус, косинус и тангенс. Их период одинаков и равен 2π, то есть sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) и так далее. Однако, разумеется, тригонометрические функции — не единственные периодические.
  • Относительно простых, базовых функций единственный способ установить их периодичность или непериодичность — вычисления. Но для сложных функций уже есть несколько простых правил.
  • Если F(x) — периодическая функция с периодом T, и для нее определена производная, то эта производная f(x) = F′(x) — тоже периодическая функция с периодом T. Ведь значение производной в точке x равно тангенсу угла наклона касательной графика ее первообразной в этой точке к оси абсцисс, а поскольку первообразная периодически повторяется, то должна повторяться и производная. Например, производная от функции sin(x) равна cos(x), и она периодична. Беря производную от cos(x), вы получите –sin(x). Периодичность сохраняется неизменно.Однако обратное не всегда верно. Так, функция f(x) = const периодическая, а ее первообразная F(x) = const*x + C — нет.
  • Если F(x) — периодическая функция с периодом T, то G(x) = a*F(kx + b), где a, b, и k — константы и k не равно нулю — тоже периодическая функция, и ее период равен T/k. Например sin(2x) — периодическая функция, и ее период равен π. Наглядно это можно представить так: умножая x на какое-нибудь число, вы как бы сжимаете график функции по горизонтали именно в столько раз
  • Если F1(x) и F2(x) — периодические функции, и их периоды равны T1 и T2 соответственно, то сумма этих функций тоже может быть периодической. Однако ее период не будет простой суммой периодов T1 и T2. Если результат деления T1/T2 — рациональное число, то сумма функций периодична, и ее период равен наименьшему общему кратному (НОК) периодов T1 и T2. Например, если период первой функции равен 12, а период второй — 15, то период их суммы будет равен НОК (12, 15) = 60.Наглядно это можно представить так: функции идут с разной «шириной шага», но если отношение их ширин рационально, то рано или поздно (а точнее, именно через НОК шагов), они снова сравняются, и их сумма начнет новый период.
  • Однако если соотношение периодов иррационально, то суммарная функция не будет периодической вовсе. Например, пусть F1(x) = x mod 2 (остаток от деления x на 2), а F2(x) = sin(x). T1 здесь будет равен 2, а T2 равен 2π. Соотношение периодов равняется π — иррациональному числу. Следовательно, функция sin(x) + x mod 2 не является периодической.

completerepair.ru

[Билет 12] Период, основной период функции. Теоремы о периодических функциях. Примеры.

Период, основной период функции.

Период функции – положительное число Т, обладающее двумя свойствами:а) вместе с числом х в область определения данной функции входят также числа х + Т и х – Т;б) для любого значения х из области определения функции справедливы равенства f(x – T) = f(x) = f(x + T).Наименьшее из чисел Т, обладающих указанными свойствами, называется основным периодом функции.

Теоремы о периодических функциях. Примеры. Теорема. Если число T - основной период f(x), то число T/k - основной период для f(kx), где k не равно 0.Доказательство.  Пусть Т - основной период f(x), тогда f(x)=f(x+T), рассмотрим f(kx) = f(kx+T)=f(k(x+T/k)) => T/k -период, ч.т.д.

Теорема 1. Если числа    и    являются периодами функции   f ,  то и их сумма   и разность    также являются периодами функции  f . Следствие.  Если   – период функции   f ,  то число  ,  где  , – также период этой функции. Теорема 2.  Если   – наименьший положительный период функции   f   то любой пе­риод  T этой функции представим в виде  ,  где  . Следствие.  Если наименьшие положительные периоды функций    и    соизме­римы, т.е. отношение   – рационально, то и сумма (произведение) этих функций – также периодическая функция.

Замечание.  Если отношение наименьших периодов всюду определенных и непре­рывных функций иррационально, то сумма и произведение этих функций – функции непериодические (без доказательства).

Теорема 4.  Если   – периодическая функция с периодом  T,  то какова бы ни была функция  F,  сложная  функция  – также функция периодическая, причем число  T является и ее периодом. Теорема 5.  Если   – периодическая функция с периодом  T,  то любая сложная функция вида   – также функция периодическая, причем ее периодом является число  . Теорема. 2\pi — главный период функций синус и косинус. Доказательство. 1. \forall x\in\mathbb{R} \begin{array}{l}<br /> \sin(x+2\pi)=\sin x,\\<br /> \cos(x+2\pi)=\cos x.<br /> \end{array} Значит, 2\pi — период функций синус и косинус.

Аналогично доказательство проводится для косинуса.

Теорема. Главный период функций тангенс и котангенс — \pi. Доказательство. Аналогично доказательству предыдущей теоремы.

fizmatinf.blogspot.com

Как найти наименьший положительный период функции

Минимальный позитивный период функции в тригонометрии обозначается f. Он характеризуется наименьшим значением позитивного числа T, то есть поменьше его значение T теснее не будет являться период ом функции .

Вам понадобится

Инструкция

1. Обратите внимание на то, что период ическая функция не неизменно имеет минимальный правильный период . Так, к примеру, в качестве период а непрерывной функции может быть безусловно всякое число, а значит, у нее может и не быть наименьшего позитивного период а. Встречаются также и непостоянные период ические функции , у которых нет наименьшего правильного период а. Впрочем в большинстве случаев минимальный правильный период у период ических функций все же есть.

2. Минимальный период синуса равен 2?. Разглядите подтверждение этого на примере функции y=sin(x). Пускай T будет произвольным период ом синуса, в таком случае sin(a+T)=sin(a) при любом значении a. Если a=?/2, получается, что sin(T+?/2)=sin(?/2)=1. Впрочем sin(x)=1 лишь в том случае, когда x=?/2+2?n, где n представляет собой целое число. Отсель следует, что T=2?n, а значит, наименьшим позитивным значением 2?n является 2?.

3. Минимальный правильный период косинуса тоже равен 2?. Разглядите подтверждение этого на примере функции y=cos(x). Если T будет произвольным период ом косинуса, то cos(a+T)=cos(a). В том случае если a=0, cos(T)=cos(0)=1. Ввиду этого, наименьшим позитивным значением T, при котором cos(x)=1, есть 2?.

4. Рассматривая тот факт, что 2? – период синуса и косинуса, это же значение будет и период ом котангенса, а также тангенса, впрочем не минимальным, от того что, как знаменито, минимальный правильный период тангенса и котангенса равен ?. Удостовериться в этом сумеете, разглядев дальнейший пример: точки, соответствующие числам (х) и (х+?) на тригонометрической окружности, имеют диаметрально противоположное расположение. Расстояние от точки (х) до точки (х+2?) соответствует половине окружности. По определению тангенса и котангенса tg(x+?)=tgx, а ctg(x+?)=ctgx, а значит, минимальный правильный период котангенса и тангенса равен ?.

Периодической функцией именуется функция, повторяющая свои значения через какой-то ненулевой период. Периодом функции именуется число, при добавление которого к доводу функции значение функции не меняется.

Вам понадобится

Инструкция

1. Обозначим период функции f(x) через число К. Наша задача обнаружить это значение К. Для этого представим, что функция f(x), пользуясь определением периодической функции, приравняем f(x+K)=f(x).

2. Решаем полученное уравнение касательно незнакомой K, так, как словно x — константа. В зависимости от значения К получится несколько вариантов.

3. Если K>0 — то это и есть период вашей функции.Если K=0 — то функция f(x) не является периодической.Если решение уравнения f(x+K)=f(x) не существует ни при каком K не равном нулю, то такая функция именуется апериодической и у неё тоже нет периода.

Видео по теме

Обратите внимание! Все тригонометрические функции являются периодическими, а все полиномиальные со степенью огромнее 2 — апериодическими.

Полезный совет Периодом функции, состоящей из 2-х периодический функций, является Наименьшее всеобщее кратное периодов этих функций.

Если рассматривать точки на окружности, то точки x, x + 2π, x + 4π и т.д. совпадают друг с ином. Таким образом, тригонометрические функции на прямой периодически повторяют свое значение. Если знаменит период функции , дозволено возвести функцию на этом периоде и повторить ее на других.

Инструкция

1. Период — это число T, такое что f(x) = f(x+T). Дабы обнаружить период, решают соответствующее уравнение, подставляя в качестве довода x и x+T. При этом пользуются теснее вестимыми периодами для функций. Для функций синуса и косинуса период составляет 2π, а для тангенса и котангенса — π.

2. Пускай дана функция f(x) = sin^2(10x). Разглядите выражение sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)). Воспользуйтесь формулой для понижения степени: sin^2(x) = (1 — cos 2x)/2. Тогда получите 1 — cos 20x = 1 — cos 20(x+T) либо cos 20x = cos (20x+20T). Зная, что период косинуса равен 2π, 20T = 2&#960. Значит, T = π/10. Т — минимальный правильный период, а функция будет повторяться и через 2Т, и через 3Т, и в иную сторону по оси: -T, -2T и т.д.

Полезный совет Пользуйтесь формулами для понижения степени функции. Если вам теснее знамениты периоды каких-нибудь функций, пробуйте свести имеющуюся функцию к знаменитым.

Функция, значения которой повторяются через определенное число, именуется периодической . То есть сколько бы периодов вы ни прибавили к значению х, функция будет равна одному и тому же числу. Всякое изыскание периодических функций начинается с поиска наименьшего периода, дабы не исполнять лишнюю работу: довольно исследовать все свойства на отрезке, равном периоду.

Инструкция

1. Воспользуйтесь определением периодической функции . Все значения х в функции замените на (х+Т), где Т – минимальный период функции . Решите полученное уравнение, считая Т незнакомым числом.

2. В итоге вы получите некое тождество, из него испробуйте подобрать наименьший период. Скажем, если получилось равенство sin(2T)=0,5, следственно, 2Т=П/6, то есть Т=П/12.

3. Если равенство получается правильным только при Т=0 либо параметр Т зависит от х (скажем, получилось равенство 2Т=х), делайте итог о том, что функция не периодична.

4. Для того дабы узнать минимальный период функции , содержащей лишь одно тригонометрическое выражение, воспользуйтесь правилом. Если в выражении стоит sin либо cos, периодом для функции будет 2П, а для функций tg, ctg ставьте минимальный период П. Учтите при этом, что функция не должна быть возведена в какую-нибудь степень, а переменная под знаком функции не должна быть умножена на число, хорошее от 1.

5. Если cos либо sin внутри функции построены в четную степень, уменьшите период 2П в два раза. Графически вы можете увидеть это так: график функции , расположенный ниже оси ох, симметрично отразится вверх, следственно функция будет повторяться в два раза почаще.

6. Дабы обнаружить минимальный период функции при том, что угол х умножен на какое либо число, действуете так: определите типовой период этой функции (скажем, для cos это 2П). После этого поделите его на множитель перед переменной. Это и будет желанный минимальный период. Уменьшение периода отменно видно на графике: он сжимается ровно во столько раз, на сколько умножен угол под знаком тригонометрической функции .

7. Обратите внимание, если перед х стоит дробное число поменьше 1, период возрастает, то есть график, наоборот, растягивается.

8. Если в вашем выражении две периодические функции умножены друг на друга, обнаружьте минимальный период для всякой по отдельности. После этого определите минимальный всеобщий множитель для них. Скажем, для периодов П и 2/3П минимальный всеобщий множитель будет 3П (он делится без остатка как на П, так и на 2/3П).

Расчет размера средней заработной платы работников нужен для начисления пособий по временной нетрудоспособности, оплаты командировок. Средний заработок экспертов исчисляется, исходя из реально отработанного времени, и зависит от оклада, надбавок, премий, указанных в штатном расписании.

Вам понадобится

Инструкция

1. Для того дабы сделать расчет средней заработной платы работника, вначале определите период, за тот, что нужно ее исчислить. Как водится, таким периодом выступает 12 календарных месяцев. Но если работник трудится на предприятии менее года, к примеру, 10 месяцев, то вам необходимо обнаружить средний заработок за время, которое эксперт исполняет свою трудовую функцию.

2. Сейчас определите сумму заработной платы, которая была реально начислена ему за расчетный период. Для этого используйте расчетные ведомости, по которым работнику выдавались все положенные ему выплаты. Если немыслимо воспользоваться этими документами, то месячный оклад, премии, надбавки умножьте на 12 (либо то число месяцев, которое работник трудится на предприятии, если он оформлен в компании менее года).

3. Рассчитайте среднедневной заработок. Для этого сумму заработной платы за расчетный период поделите на среднее число дней в месяце (в текущее время оно составляет 29,4). Полученный итог поделите на 12.

4. После этого определите число реально отработанного времени. Для этого используйте табель учета рабочего времени. Данный документ должен заполнять табельщик, кадровый служащий либо другой работник, у которого это прописано в должностных обязанностях.

5. Число реально отработанного времени умножьте на среднедневной заработок. Полученная сумма является средней заработной платой эксперта за год. Итог поделите на 12. Это будет среднемесячным заработком. Такой расчет используется для работников, у которых начисление заработной платы зависит от реально отработанного времени.

6. Когда работнику установлена сдельная оплата труда, то тарифную ставку (указанную в штатном расписании и определенную трудовым договором) умножьте на число произведенных изделий (используйте акт исполненных работ либо иной документ, в котором это фиксируется).

Обратите внимание! Не путайте функции y=cos(x) и y=sin(x) — имея идентичный период, эти функции изображаются по-различному.

Полезный совет Для большей наглядности изобразите тригонометрическую функцию, у которой рассчитывается минимальный правильный период.

jprosto.ru

Как найти наименьший период функции

Содержание

  1. Инструкция

Как найти наименьший период функции

Функция, значения которой повторяются через определенное число, называется периодической. То есть сколько бы периодов вы ни прибавили к значению х, функция будет равна одному и тому же числу. Любое исследование периодических функций начинается с поиска наименьшего периода, чтобы не выполнять лишнюю работу: достаточно изучить все свойства на отрезке, равном периоду.

Инструкция

  • Воспользуйтесь определением периодической функции. Все значения х в функции замените на (х+Т), где Т – наименьший период функции. Решите полученное уравнение, считая Т неизвестным числом.
  • В результате вы получите некое тождество, из него попробуйте подобрать минимальный период. Например, если получилось равенство sin(2T)=0,5, следовательно, 2Т=П/6, то есть Т=П/12.
  • Если равенство получается верным только при Т=0 или параметр Т зависит от х (например, получилось равенство 2Т=х), делайте вывод о том, что функция не периодична.
  • Для того чтобы узнать наименьший период функции, содержащей лишь одно тригонометрическое выражение, воспользуйтесь правилом. Если в выражении стоит sin или cos, периодом для функции будет 2П, а для функций tg, ctg ставьте наименьший период П. Учтите при этом, что функция не должна быть возведена в какую-либо степень, а переменная под знаком функции не должна быть умножена на число, отличное от 1.
  • Если cos или sin внутри функции возведены в четную степень, уменьшите период 2П в два раза. Графически вы можете увидеть это так: график функции, расположенный ниже оси ох, симметрично отразится вверх, поэтому функция будет повторяться в два раза чаще.
  • Чтобы найти наименьший период функции при том, что угол х умножен на какое либо число, действуете так: определите стандартный период этой функции (например, для cos это 2П). Затем разделите его на множитель перед переменной. Это и будет искомый наименьший период. Уменьшение периода хорошо видно на графике: он сжимается ровно во столько раз, на сколько умножен угол под знаком тригонометрической функции.
  • Обратите внимание, если перед х стоит дробное число меньше 1, период увеличивается, то есть график, напротив, растягивается.
  • Если в вашем выражении две периодические функции умножены друг на друга, найдите наименьший период для каждой по отдельности. Затем определите наименьший общий множитель для них. Например, для периодов П и 2/3П наименьший общий множитель будет 3П (он делится без остатка как на П, так и на 2/3П).

completerepair.ru