Задачи №6. Равнобедренный треугольник. Вычисление углов и длин. Синус в равнобедренном треугольнике это отношение
Синус в треугольнике | Треугольники
Что такое синус в треугольнике? Как найти синус острого угла в прямоугольном треугольнике?
Определение.
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Например,
для угла A треугольника ABC
противолежащий катет — это BC.
Соответственно, синус угла A в треугольнике ABC — это
Для угла B треугольника ABC
противолежащим является катет AC.
Соответственно, синус угла B в треугольнике ABC
равен отношению AC к AB:
Таким образом, синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это некоторое число, получаемое в результате деления длины противолежащего катета на длину гипотенузы. Длины отрезков выражаются положительными числами, поэтому синус угла треугольника также является положительным числом.
Поскольку длина катета всегда меньше длины гипотенузы, то синус острого угла прямоугольного треугольника — число, меньшее единицы.
Вывод:
Синус любого острого угла прямоугольного треугольника больше нуля, но меньше единицы:
Синус угла треугольника зависит не от длин сторон треугольника, а от отношения этих длин.
Например,
1) В треугольнике ABC катет BC=3 см, а гипотенуза AB=5 см.
Тогда
2) В треугольнике ABC катет BC=21 дм, гипотенуза AB=35 дм.
Тогда
Длины сторон треугольника изменилось, но отношения длин остались прежними, поэтому и значение синуса угла A не изменилось.
Угол A в обоих треугольниках одинаков.
www.treugolniki.ru
Как найти синус угла в равнобедренном треугольнике
Равнобедренным треугольником называется выпуклая геометрическая фигура из трех вершин и трех соединяющих их отрезков, два из которых имеют одинаковую длину. А синус - это тригонометрическая функция, которую можно использовать для численного выражения зависимости между соотношением длин сторон и величинами углов во всех треугольниках, включая и равнобедренные.
Инструкция
- Если из исходных данных известна величина хотя бы одного угла (α) в равнобедренном треугольнике, это позволит найти и два других (β и γ), а значит и синус любого из них. Исходите из теоремы о сумме углов, которая утверждает, что в треугольнике она обязательно должна быть равна 180°. Если угол известной величины лежит между боковыми сторонами, величина каждого из двух других равна половине разности между 180° и известным углом. Значит, вы можете использовать в расчетах такое тождество: sin(β) = sin(γ) = sin((180°-α)/2). Если же известный угол примыкает к основанию треугольника, это тождество распадется на два равенства: sin(β) = sin(α) и sin(γ) = sin(180°-2*α).
- Зная радиус (R) окружности, описанной около такого треугольника, и длину любой из сторон (например, а) можно не прибегая к вычислению тригонометрических функций рассчитать синус угла (α), лежащего напротив этой стороны. Используйте для этого теорему синусов - из нее вытекает, что нужная вам величина равна половине соотношения между длиной стороны и радиусом: sin(α) = ½*R/a.
- Известные площадь (S) и длина боковой стороны (а) равнобедренного треугольника позволят рассчитать синус угла (β), лежащего напротив основания фигуры. Для этого удвойте площадь и поделите результат на возведенную в квадрат длину боковой стороны: sin(β) = 2*S/a². Если кроме длины боковой стороны известна и длина основания (b), квадрат можно заменить произведением длин этих двух сторон: sin(β) = 2*S/(a*b).
- Если известны длины боковой стороны (а) и основания (b) равнобедренного треугольника, для вычисления синуса угла при основании (α) можно задействовать даже теорему косинусов. Из нее вытекает, что косинус этого угла равен половине отношения длины основания к длине боковой стороны: cos(α) = ½*b/a. Синус и косинус связаны таким равенством: sin²(α) = 1-cos²(α). Поэтому для вычисления синуса извлеките квадратный корень из разницы между единицей и четвертью соотношения квадратов длин основания и боковой стороны: sin(α) = √(1-cos2(α)) = √(1-¼*b²/а²).
completerepair.ru
Равнобедренный треугольник. Вычисление длин, углов. Синус угла
Продолжаем разбор Заданий №6 ЕГЭ по математике.
Если вы научились находить значения синусов,
косинусов, тангенсов углов в прямоугольном треугольнике (статьи 1 и 2 ), то задачи, которые мы сегодня будем разбирать, не покажутся вам сложными.
Можете заглянуть и сюда, чтобы вспомнить свойства равнобедренного треугольника.
В категорию «Задания №6» входят также задачи следующих типов + показать
Задача 1.
В треугольнике ABC . Внешний угол при вершине B равен . Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.
Решение: + показать
Задача 2.
В треугольнике ABC угол A равен , угол C равен На продолжении стороны AB отложен отрезок Найдите угол D треугольника BCD. Ответ дайте в градусах.
Решение: + показать
Задача 3.
В треугольнике ABC Найдите
Решение: + показать
Задача 4.
В треугольнике Найдите
Решение: + показать
Задача 5.
В треугольнике ABC , AH — высота, Найдите
Решение: + показать
Задача 6.
В треугольнике – высота, Найдите
Решение: + показать
Задача 7.
В треугольнике высота Найдите синус угла
Решение: + показать
, так как треугольник равнобедренный.
Из треугольника
Ответ: 0,4.
Задача 8.
В треугольнике угол равен . Найдите высоту .
Решение: + показать
Задача 9.
В треугольнике ABC Найдите синус внешнего угла при вершине A.
Решение: + показать
Задача 10.
В треугольнике угол равен Найдите .
Решение: + показать
Если мы проведем медиану , то она будет и высотой, и биссектрисой для треугольника
По определению синуса для угла имеем:
Значит
Ответ: 6.
Устали? Хотите немного посмеяться? + показать
* * *
Сын “нового русского” говорит отцу:
– Папа, ты мне обещал, что если я получу “пять”, то ты мне дашь 11 долларов. Вчера я получил “два”, а сегодня “три”, – итого – “пять”.
– Хорошо, говорит отец, – на тебе один доллар и еще один – итого одиннадцать. Учись дальше, сынок.
Остальное тут.
Вы можете пройти тест по теме «Равнобедренный треугольник. Вычисление углов и длин».
egemaximum.ru
Как найти в равнобедренном треугольнике косинус угла
УСЛОВИЕ: в треугольнике abc известно,что ab=bc, угол abc=148 °. Найдите угол bca. Ответ дайте в °ах. РЕШЕНИЕ ОТ MargaritaPyrkina: (угол BAC)+(угол BCA)=180–148=32 °а. Треугольник АВС равнобедренный, значит (угол BAC)=(углу BCA)=32/2=16 °. Ответ 16. ВОПРОСЫ ПО РЕШЕНИЮ? НАШЛИ.
Совет 1: Как найти синус угла в равнобедренном треугольнике
- Как найти синус угла в равнобедренном треугольнике Как вычислить основание равнобедренного треугольника Как найти боковую сторону равнобедренного треугольника, если дано основание
- рассчитать синус
Совет 2: Как найти высоту в равнобедренном треугольнике
По теореме Пифагора (AB^2) = (BE^2)+(AE^2). Тогда (BE^2) = sqrt((AB^2)-(AE^2)). Так как AE одновременно и медиана треугольника ABC, то BE = BC/2. Следовательно, (BE^2) = sqrt((AB^2)-((BC^2)/4)).
Если задан угол при основании ABC, то из прямоугольного треугольника высота AE равна AE = AB/sin(ABC). Угол BAE = BAC/2, так как AE — биссектриса треугольника. Отсюда, AE = AB/cos(BAC/2).
Пусть S — площадь этого треугольника. Сторону AC, на которую опущена высота, можно обозначить за b. Тогда из формулы площади треугольника будет находиться длина высоту BK: BK = 2S/b.
- высоты равнобедренного треугольника
Совет 3: Как найти угол в равнобедренном треугольнике
- Стороны равнобедренного треугольника, один из углов, радиус описанной вокруг треугольника окружности.
Β = π — 2*π. π — это константа, ее размер принято считать равной 3.14.
Совет 4: Как найти длину стороны в равнобедренном треугольнике
- как вычислить сторону равнобедренного треугольника
Совет 5: Что такое синус
Совет 6: Как найти синус угла между векторами
Совет 7: Как найти длину высоты в равнобедренном треугольнике
Как найти в равнобедренном треугольнике косинус угла
Равнобедренные треугольники
Равнобедренный треугольник — это такой треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны называются боковыми. Третья сторона называется основанием.
1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
3. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
4. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.
5. Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, всегда острые.
6. В равнобедренном треугольнике:
— биссектрисы, проведенные из вершин при основании, равны;
— высоты, проведенные из вершин при основании, равны;
— медианы, проведенные из вершин при основании, равны.
7. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на высоте, биссектрисе и медиане, проведенных к основанию.
8. Вписанная окружность точкой касания делит основание пополам.
Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-либо углом этого треугольника.
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.
$∠BCD$ — внешний угол треугольника $АВС$.
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:
В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$.
Для острого угла $В$: $АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.
Для острого угла $А$: $ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.
Синусом ($sin$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тангенсом ($tg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему. Котангенсом ($ctg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
В прямоугольном треугольнике $АВС$ для острого угла $В$:
В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.
$cos BOA= — cos BOC;$
$ctg BOA= — ctg BOC.$
В треугольнике $ABC$ $AB=BC, AH$ — высота, $AC=34, cos ∠BAC=0.15$. Найдите $CH$.
Так как треугольник $АВС$ равнобедренный, то $∠A=∠С$ (как углы при основании)
Косинусы равных углов равны, следовательно, $cos∠BAC=cos∠ВСА=0.15$
Рассмотрим прямоугольный треугольник $АНС$.
Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Распишем косинус $∠НСА$ (он же $∠ВСА$) по определению:
Из последнего равенства найдем $НС$, для этого $0.15$ представим в виде обыкновенной дроби и воспользуемся свойством пропорции:
Если на сторонах $ВС, АВ$ и продолжении стороны $АС$ треугольника $АВС$ за точку $С$ отмечены соответственно $А_1,С_1,В_1$, лежащие на одной прямой, то
Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:
$/=/=/=2R$, где $R$ — радиус описанной около треугольника окружности.
В треугольнике $АВС$ $ВС=16, sin∠A=/$. Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника $АВС$.
Воспользуемся теоремой синусов:
Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности
Далее подставим числовые данные и найдем $R$
Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
Твой план подготовки к ЕГЭ 2018 почти готов
Всего за 3 минуты
«Такой подход способен увлечь не только школьников: корреспонденты РБК несколько часов сражались со старшеклассниками — по русскому языку и литературе им удавалось побеждать, в физике и математике школьники обычно оказывались успешнее.»
«В некоторых исследованиях геймификация помогала увеличить вовлеченность в образовательный контент на 50%, а результаты учащихся — на 40%.»
«И это все не праздные развлечения: Экзамер использует Big Data и методы машинного обучения для постоянной адаптации и персонализации плана подготовки каждого ученика.»
Как найти в равнобедренном треугольнике косинус угла
В равнобедренном треугольнике косинус угла при вершине равен 7/25.определите синус и косинус угла при основании
Ответы и объяснения
Нужен Δ, образованный высотой, проведённой к основанию и боковой стороной. Теперь при вершине этого Δ угол = а/2. Найдём Cosa/2
Нужна формула Cosa = 2Cos²a/2 -1 (формула косинуса двойного угла)
2Cos²a/2 = 7/25 +1=32/25
Теперь надо искать угол при основании. он = (90 — а/2) . Найдём синус и косинус этого угла.
Б)Cos (90 — a/2) = Sin a/2 Ищем по основному тригонометрическому тождеству.Sin a/2 = √(1 — 16/25) =√9/25 = 3/5
poiskvstavropole.ru
Косинус в треугольнике | Треугольники
Что такое косинус в треугольнике? Как найти косинус острого угла в прямоугольном треугольнике?
Определение
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Например, для угла A треугольника ABC
прилежащий катет — это AC.
Соответственно, косинус угла A в треугольнике ABC — это
Для угла B треугольника ABC
прилежащим является катет BC.
Соответственно, косинус угла B в треугольнике ABC
равен отношению BC к AB:
Таким образом, косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это некоторое число, получаемое в результате деления длины прилежащего катета на длину гипотенузы.
Длины отрезков — положительные числа, поэтому косинус острого угла прямоугольного треугольника также является положительным числом.
Поскольку длина катета всегда меньше длины гипотенузы, то косинус острого угла прямоугольного треугольника — число, меньшее единицы.
Вывод:
Косинус любого острого угла прямоугольного треугольника больше нуля, но меньше единицы:
Косинус зависит от величины угла.
Если в треугольнике изменить длины сторон, но не изменять угол, значение косинуса этого угла не изменится.
Например,
в треугольниках ABC и FPK
∠A=60º, ∠F=60º.
Косинус угла в произвольном (не прямоугольном треугольнике) определяется через теорему косинусов. О том, как это делать, мы будем говорить позже.
www.treugolniki.ru
Синус косинус и тангенс - материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике
Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.
Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.
Острый угол — меньший 90 градусов.
Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин :-)
Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается . Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается .
Угол обозначается соответствующей греческой буквой .
Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.
Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.
Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим.
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:
Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:
Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):
Обратите внимание на основные соотношения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.
Давайте докажем некоторые из них.
- Сумма углов любого треугольника равна . Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa .
- С одной стороны, как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, , поскольку для угла катет а будет прилежащим.Получаем, что . Иными словами, .
- Возьмем теорему Пифагора: .Поделим обе части на :Мы получили основное тригонометрическое тождество.
- Поделив обе части основного тригонометрического тождества на , получим:Это значит, что если нам дан тангенс острого угла , то мы сразу можем найти его косинус.Аналогично,
Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?
Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна .
Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: .
Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?
С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.
Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.
Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от до .
Обратите внимание на два красных прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.
1. В треугольнике угол равен , . Найдите .
Задача решается за четыре секунды.
Поскольку , .
2. В треугольнике угол равен , , . Найдите .
Имеем:
Отсюда
Найдем по теореме Пифагора.
Задача решена.
Часто в задачах встречаются треугольники с углами и или с углами и . Основные соотношения для них запоминайте наизусть!
Для треугольника с углами и катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы.
Треугольник с углами и — равнобедренный. В нем гипотенуза в раз больше катета.
Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника. Об этом — в следующей статье.
Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России) +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)
Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.
ege-study.ru
Основание равнобедренного треугольника равно 4 корня из 3, а боковая сторона равна 4 см. Найдите углы треугольника.
опустите высоту на основание и находите ее по формуле.. . если не ошибаюсь =2 см, что такое синус угла при основании - это отношение противоположной стороны - то бишь высоты к гипотинузе - боковой стороне искомого треугольника = 1/2 то есть угол при основании =30градусов, углы в равнобедренном треугольнике при основании равны, остается найти 3-й угол 180 -(30+30)=120
1. Проведем к основанию треугольника высоту, по свойству равнобедренного треугольника эта высота является медианой и высотой. Пусть дан треугольник АВС, АС — основание, ВН- только что проведенная высота). 2. раз ВН и медиана, следовательно АН=СН=(4√3)/2=2√3 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник АСН, и по определению косинуса (отношение прилежащего катета к гипотенузе) cos углаА=АН/АВ=2√3/4=√3/2, следовательно по таблице косинусов уголА=30, тогда тоже угол С=30 )так как углы при основании в р/б равны), а угол В=180-А-С=180-30-30=120. ОТВЕТ: А=С=30, В=120 Вы же уже изучили определения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов? просто со второго шага возможно другое решение, если их еще не прошли? ВТОРОЙ ВАРИАНТ С ШАГА 3. 3Б. По теореме Пифагора определим катет АВ²=ВН² + АН² ( квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов), тогда ВН²=АВ²- АН²= (4)²- (2√3)²=16 — 12=4, тогда ВН=√4=2 4Б. Вспоминаем свойства в прямоугольном треугольнике, если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета равен 30 град, а против катета ВН как раз лежит угол А. 5Б. Ну а дальше как и было С=А=30, угол В=180-А-С=180-30-30-120
touch.otvet.mail.ru
