ГлавнаяРазноеПравила сложения двоичных чисел

Сложение двоичных чисел Таблица сложения двоичных чисел. Правила сложения двоичных чисел


2. Правила двоичной арифметики

В любой позиционной системе счисления операции сложения и вычитания двух чисел A  B=С осуществляются поразрядно, начиная с младших разрядов.

При сложении переполнение из младшего разряда переносится в старший разряд, т. е. код суммы каждого i-ого разряда сi получается в результате сложения ai + bi + 1, где 1 соответствует переносу из младшего (i -1)-разряда в i-ый, если в младшем разряде код суммы получился больше или равным основанию системы счисления.

При вычитании требуемый заем производится из старшего разряда, т. е. код разности каждого i-ого разряда сi получается в результате вычитания ai - bi – 1, где 1 соответствует заему, если он был, в младшие разряды величины, равной основанию системы счисления.

2.1. Правила сложения двоичных чисел.

В каждом разряде выполняется сложение двух цифр слагаемых и единицы переноса из соседнего младшего разряда, если она есть.

Поразрядная сумма формируется по следующим правилам:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 0 – осуществляется перенос 1 в старший разряд

Например, сложение 510 + 310 = 810

1012 = 510

+ 0112 = 310

10002 = 810

Суммирование двоичных чисел в компьютерах осуществляется при помощи устройств, называемых двоичными сумматорами.

2.2. Правила вычитания двоичных чисел.

В каждом разряде выполняется вычитание из цифры числа цифры вычитаемого, при вычитании из нуля единицы происходит заем единицы из соседнего старшего разряда, которая равна 2 единицам данного разряда.

Поразрядная разность формируется по следующим правилам:

0 - 0 = 0

1 - 0 = 1

1 - 1 = 0

0 - 1 = 1 – после заема 1 из старшего разряда

Например, вычитание 610 – 310 = 310

01102 = 610

–00112 = 310

00112 = 310

Как правило, вычитание двоичных чисел в компьютерах осуществляется при помощи двоичных сумматоров: при представлении вычитаемого в дополнительном или обратном коде операцию вычитания можно заменить операцией сложения.

2.3. Правила умножения двоичных чисел.

Умножение двоичных чисел производится путем образования промежуточных произведений и последующего их суммирования.

Поразрядные произведения формируются по следующим правилам:

0 x 0 = 0

0 x 1 = 0

1 x 0 = 0

1 x 1 = 1

Например, умножение 510 x 310 = 1510

101

11

101

+101

1111

2.4. Правила деления двоичных чисел.

Деление двоичных чисел производится по правилам умножения и вычитания.

Например, деление 610 : 310 = 210

110 : 11 = 10

110 11

–11 10

00

3. Операция сдвига по разрядной сетке

В компьютерах, кроме операции алгебраического суммирования двоичных чисел, к которой относятся операции сложения и вычитания, выполняется операция сдвига числа по разрядной сетке влево и вправо, осуществляющая, фактически, умножение и деление двоичных чисел.

В случае сдвига влево осуществляется умножение двоичного числа на 2j, а при сдвиге вправо – деление на 2j, где j – количество разрядов, на которое сдвигается двоичное число.

Например, осуществить сдвиг на 2 разряда

1) 0000112 = 310 влево

0011002 = 1210

т. е. 3 х 4(22) = 1210

2) 0010002 = 810 вправо

0000102 = 210

т. е. 8 : 4(22) = 210

В компьютерах часто используется циклический сдвиг, при выполнении которого разрядная сетка, отведенная для операнда (числа, над которым производится действие), представляется замкнутой в кольцо. Тогда при сдвиге влево содержимое старшего разряда попадает в младший разряд операнда, а при сдвиге вправо содержимое младшего разряда попадает в старший разряд операнда.

studfiles.net

Правила сложения двоичных чисел.

Компьютеры Правила сложения двоичных чисел.

Количество просмотров публикации Правила сложения двоичных чисел. - 230

 Наименование параметра  Значение
Тема статьи: Правила сложения двоичных чисел.
Рубрика (тематическая категория) Компьютеры

Правила двоичной арифметики

В любой позиционной системе счисления операции сложения и вычитания двух чисел A  B=С реализуются поразрядно, начиная с младших разрядов.

При сложении переполнение из младшего разряда переносится в старший разряд, т. е. код суммы каждого i-ого разряда сi получается в результате сложения ai + bi + 1, где 1 соответствует переносу из младшего (i -1)-разряда в i-ый, в случае если в младшем разряде код суммы получился больше или равным основанию системы счисления.

При вычитании требуемый заем производится из старшего разряда, т. е. код разности каждого i-ого разряда сi получается в результате вычитания ai - bi – 1, где 1 соответствует заему, в случае если он был, в младшие разряды величины, равной основанию системы счисления.

В каждом разряде выполняется сложение двух цифр слагаемых и единицы переноса из сосœеднего младшего разряда, в случае если она есть.

Поразрядная сумма формируется по следующим правилам:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 0 – осуществляется перенос 1 в старший разряд

К примеру, сложение 510 + 310 = 810

1012 = 510

+ 0112 = 310

10002 = 810

Суммирование двоичных чисел в компьютерах осуществляется при помощи устройств, называемых двоичными сумматорами.

Правила сложения двоичных чисел. - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Правила сложения двоичных чисел." 2014, 2015.

referatwork.ru

Системы счисления. Арифметические действия в двоичной системе счисления

Разделы: Информатика

Цель: научить учащихся выполнять арифметические действиями в двоичной системе счисления.Задачи:образовательные: - повторение и закрепление знаний учащихся о системах счисления; - формировать у школьников умение выполнять правильно арифметические действия в двоичной системе счисления;развивающие: - развивать логическое мышление учащихся; - развивать познавательный интерес учеников.

Содержание нового материала: правила сложения, умножения, вычитания и деления в двоичной системе счисления.

Ход урока.

Изучение нового материала.Правила сложения: 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10 Обратить внимание учащихся на то, что при сложении двух единиц в двоичной системе счисления в записи получается 0, а единица переносится в следующий разряд. При сложении трех единиц получается в записи 1, и единица переносится в следующий разряд. (1+1+1=11).

Пример 1. 101+10=111

Решение:

Пример 2. 10011+11=1110

Решение:

 

 

1

1

 

+

1

0

1

1

 

 

1

1

 

1

1

1

0

Учащиеся самостоятельно решают следующие примеры: 1001+11=1100 110+110=1100

Правила умножения: 0*0=0 0*1=0 1*0=0 1*1=1

Пример 1. 101*11=1111

Решение:

*

1

0

1

 

1

1

 

1

0

1

1

0

1

 

1

1

1

1

Объяснение: Каждую цифру второго множителя умножаем на каждую цифру первого множителя, результаты произведений складывают между собой по правилам сложения в двоичной системе счисления. (Математика - 3 класс).

Пример 2. 1011*101=110111

Решение:

 

*

1

0

1

1

 

 

1

0

1

 

 

1

0

1

1

1

0

1

1

 

 

1

1

0

1

1

1

Учащиеся самостоятельно решают следующие примеры: 1001*101=101101 1001*11=11011

Правила вычитания: 0-0=0 1-0=1 1-1=0 0-1=-1 Обратить внимание учащихся на то, что «минус» в последнем правиле обозначает – «занять разряд (1)».

Пример 1. 10110-111=1111

Решение:

Объяснение: Вычитание выполняется так же, как в математике. Если цифра в уменьшаемом меньше цифры вычитаемого, то для данного вычитания необходимо занять разряд (1), т.к. 10-1=1. Если слева от такого вычитания стоит 0, то мы не можем занять разряд. В этом случае разряд занимаем в уменьшаемом у близстоящей слева от данного вычитания единицы. При этом все нули, у которых мы не могли занять разряд, необходимо поменять на единицу, т.к. 0-1=-1. Желательно все изменения в цифрах записывать сверху данного вычитания. Дальнейшее вычитание выполнять с получившимися сверху цифрами.

Пример 2. 100000-11=11101

Решение:

Учащиеся самостоятельно решают следующие примеры: 100010-100= 101011-10111=

Правило деления: Деление выполняется по правилам математики, не забывая, что мы выполняем действия в двоичной системе счисления.

Пример 1. 101101:1001=101

Решение:

 

1

0

1

1

0

1

1

0

0

1

 

1

0

0

1

 

 

1

0

1

 

 

 

 

1

0

0

1

 

 

 

 

 

 

 

1

0

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

Объяснение: В частном смело пишем первую 1, т.к. число в двоичной системе не может начинаться с 0. Умножаем  эту 1 на делитель, результат правильно записываем под делимом, соблюдая разрядность. Выполняем вычитание по правилам вычитания в двоичной системе счисления. Сносим следующую цифру  делимого, и полученное число сравниваем с делителем. В данном случае – полученное число меньше делителя, в частном записываем 0 (в противном случае – 1). Сносим следующую цифру делимого. Получили число равное делителю,  в частном записываем 1, и т.д.

Пример 2. 101010:111=110

Решение:

Примеры для самостоятельного решения: 1001000:1000=1001 111100:1010=110

Домашнее задание.Выполнить действия: 1100+1101= 101+101= 1011*101= 111*101= 11011-110= 10001-1110= 1011010:1010=

Поделиться страницей:

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Сложение двоичных чисел Таблица сложения двоичных чисел

Смкэс-2004Известны системы ограничений для двоичных биномиальных чисел, полученные на основе структурного подхода. Данные системы ограничений...Средняя длина двоичных биномиальных чисел произвольного диапазона кулик И. А., к т. н доц. Сумский государственный университетИ если задача вычисления средней длины указанных чисел для полного диапазона биномиальной системы счисления с параметрами и автором...
Удк 621 037. 37 О средней длине двоичных биномиальных чиселТаким образом, целью данной работы является дальнейшее исследование линейных неравномерных биномиальных чисел. При этом решаемые...Удк 681. 518 Алгоритмы нумерации двоичных чисел с помощью биномиального счётаОни способны дать больший коэффициент сжатия информации, позволяющий в процессе сжатия находить ошибки используя для этого ключи,...
Метод сжатия двоичных сообщений на основе многозначных биномиальных чисел и устройство для его реализации т. А. Протасова, ст препПод сжатием информации понимают операцию, в результате которой данному коду или сообщению ставится в соответствие более короткий...Питання до екзамену з курсу „Алгебра І теорія чисел” за І семестр 2010/2011 н рНайбільший спільний дільник двох цілих чисел. Властивості нсд двох цілих чисел. Алгоритм Евкліда. Теорема про лінійне представлення...
Сжатие двоичных кодов на основе биномиальных чиселДля сжатия равновесных кодов ранее были предложены простые алгоритмы, кото­рые несложно реализовать аппаратными средствами. При этом...Методы сжатия и защиты информации на основе биномиальных кодов борисенко А. А., д т. н., проф. Сумский государственный университет е-mail electron@sumdu edu uaДиапазон этих систем счисления также представляет биномиальный коэффициент. Известно, что множество всех двоичных чисел длины n можно...
Міністерство освіти І науки, молоді та спорту УкраїниНатуральні числа I нуль. Читання I запис натуральних чисел. Порівняння натуральних чисел. Додавання, віднімання, множення та ділення...7. Имитационное моделированиеВо всех случаях используется программный датчик случайных чисел, равномерно распределённых на интервале 0,1. Из этих чисел при...

zavantag.com

Сложение более двух двоичных чисел — КиберПедия

При сложении трех, четырех и т.д. двоичных чисел в разрядах слагаемых может образоваться с учетом переносов 4–7 единиц. Сложение такого числа единиц подчиняется общему правилу: число единиц необходимо записать в двоичном виде, при этом младший разряд полученного двоичного числа записывается в том разряде суммы, где образовано складываемое число единиц, остальные разряды двоичного числа определяют расположение единиц переносов. Сложение четырех единиц дает: I + I + I + I = I002 = 4, в разряд суммы записываем ноль и образуем единицу переноса через разряд и т.д.

 

Умножение двоичных чисел

Умножение двоичных чисел производится по тому же правилу, что и умножение десятичных чисел. Учитывая, что в разрядах множителя записываются только цифры 0 или I, легко сформулировать правило умножения двоичных чисел:

1) Записываем множимое и множитель так, чтобы их разряды с одинаковым " весом " находились один под другим:

 

А = 10101,01 – множимое

х В = 10011,10 – множитель

………..

2) Определяем число единиц в множителе и их местоположение.

3) Множимое переписываем справа – налево (его запятая игнорируется), нанимая с местоположения единицы множителя, и делаем это столько раз, сколько единиц в множителе.

4) Складываем арифметически полученные двоичные числа, их количество равно числу единиц множителя.

5) Местоположение запятой в произведении определяется суммой разрядов после запятой множимого и множителя.

Пример : 1101,01 = А

х 0101,01 = В

1101 01

+ 110101

+ 110101

А х В = 1000101,10 01

переносы: 11111 1

 

Вычитание двоичных чисел

Вычитание легко представить как алгебраическое сложение:

А – В = А + (–В)

Следовательно, для осуществления алгебраического сложения необходимо ввести знаковые разряды: положительные числа имеют знаковый разряд " 0 ", отрицательные числа – знаковый разряд " 1 ". Кроме того, отрицательные числа представляются в обратном коде, для этого все разряды числа, кроме знакового, инвертируются: 0 заменяют на 1 и наоборот.

Пример: А = 10111,011

В прямом коде –A = 110111,011

В обратном коде – А = 101000,100

 

Деление двоичных чисел

Деление двоичных чисел производится по тому же правилу, что и деление десятичных чисел. Как известно, при делении десятичных чисел делается вычитание из одного десятичного числа другого с использованием правила «заема» единиц в соседних, более старших разрядах.

Пример: 99 : 11 = 9 1100011 : 1011 = 1001

– 1011

0001011

– 1011

Преобразование целых чисел

 

Для преобразования целой части числа разделим левую и правую части полинома на основание q:

Ац/q = an qn-2 + an-1 qn-3 +…a2 q0 + a1/q.

Выполняя последовательно операцию деления на q, получим новое целое число и остаток от деления с цифрой разряда an-1.

#1 100:8 = 12:8 =1; Ответ: 100 = 1448.

4 4

#2 89:2 = 44:2 = 22:2 = 11:2 = 5:2 = 2:2 = 1:2; Ответ: 89:2 = 1011001

1 0 0 1 1 0 1

Для получения восьмеричного числа из двоичного числа нужно разбить его разряды на «триады»:

А = 010 011 101 011 = 23538.

 

2 3 5 3

Для получения двоично-восьмеричного кода нужно каждую цифру восьмеричного числа заменить трёхразрядным двоичным числом:

 

23538 = 2·82 + 3·81 + 5·80 = 128 +24 + 1.

В шестнадцатеричных числах основание q = 16; алфавит включает числа 0÷9 и буквы A÷F (10÷15).

 

Получение шестнадцатеричных чисел из двоичных

 

A = 1101 1001 1110, 0001 0101 = D9E, 1516.

 

D 9 E 1 5

Целую часть числа разбиваем на тетрады (четырех - разрядные числа), от запятой справа – налево, а дробную часть – тетрады, от запятой слева – направо. Полученные тетрады заменяем цифрами.

 

cyberpedia.su

Двоичная система счисления, 0 и 1, двоичные числа

Вспомним материал по системам счисления. В нём говорилось, что наиболее удобной системой счисления для компьютерных систем является двоичная система. Дадим определение этой системе:

Двоичной системой счисления называется позиционная система счисления, у которой основанием является число 2.

Для записи любого числа в двоичной системе счисления используются всего лишь 2 цифры: 0 и 1.

Общая форма записи двоичных чисел

Для целых двоичных чисел можно записать:

an−1an−2...a1a0=an−1⋅2n−1+an−2⋅2n−2+...+a0⋅20

Данная форма записи числа «подсказывает» правило перевода натуральных двоичных чисел в десятичную систему счисления: требуется вычислить сумму степеней двойки, соответствующих единицам в свёрнутой форме записи двоичного числа.

Правила сложения двоичных чисел

Основные правила сложения однобитовых чисел

0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10

Отсюда видно, что и, как и в десятичной системе счисления, числа, представленные в двоичной системе счисления, складывают поразрядно. Если разряд переполняется, единица переносится в следующий разряд.

Пример сложения двоичных чисел

Правила вычитания двоичных чисел

0-0=0 1-0=0 10-1=1

Но как быть с 0-1=? Вычитание двоичных чисел немного отличается от вычитания десятичных чисел. Для этого используется несколько способов.

Вычитание методом заимствования

Запишите двоичные числа друг под другом – меньшее число под большим. Если меньшее число имеет меньше цифр, выровняйте его по правому краю (так, как вы записываете десятичные числа при их вычитании). Некоторые задачи на вычитание двоичных чисел ничем не отличаются от вычитания десятичных чисел. Запишите числа друг под другом и, начиная справа, найдите результат вычитания каждой пары чисел.

Вот несколько простых примеров:

1 - 0 = 1 11 - 10 = 1 1011 - 10 = 1001

Рассмотрим более сложную задачу. Вы должны запомнить только одно правило, чтобы решать задачи на вычитание двоичных чисел. Это правило описывает заимствование цифры слева, чтобы вы могли вычесть 1 из 0 (0 - 1).

110 - 101 = ?

В первом столбце справа вы получаете разность 0 - 1. Для ее вычисления необходимо позаимствовать цифру слева (из разряда десятков).

Во-первых, зачеркните 1 и замените ее на 0, чтобы получить такую задачу: 1010 - 101 = ? Вы вычли («позаимствовали») 10 из первого числа, поэтому вы можете написать это число вместо цифры, стоящей справа (в разряд единиц). 101100 - 101 = ? Вычтите цифры в правом столбце. В нашем примере: 101100 - 101 = ? Правый столбец: 10 - 1 = 1. 102 = (1 x 2) + (0 x 1) = 210 (цифры нижнего регистра обозначают систему счисления, в которой записаны числа). 12 = (1x1) = 110.

Таким образом, в десятичной системе эта разность записывается в виде: 2 - 1 = 1.

Вычтите цифры в оставшихся столбцах. Теперь это легко сделать (работайте со столбцами, двигаясь, справа налево):

101100 - 101 = __1 = _01 = 001 = 1.

Вычитание методом дополнения

Запишите двоичные числа друг под другом так, как вы записываете десятичные числа при их вычитании. Этот метод используется компьютерами для вычитания двоичных чисел, так как он основан на более эффективном алгоритме.

Однако простому человеку, привыкшему вычитать десятичные числа, этот метод может показаться более сложным (если вы программист, обязательно познакомьтесь с этим методом вычитания двоичных чисел).

Рассмотрим пример: 1011002 - 111012= ?

Если значность чисел разная, к числу с меньшей значностью слева припишите соответствующее количество 0.

1011002 - 0111012= ?

В вычитаемом числе поменяйте цифры: каждую 1 поменяйте на 0, а каждый 0 на 1.

0111012 → 1000102.

На самом деле мы «забираем дополнение у единицы», то есть вычитаем каждую цифру из 1. Это работает в двоичной системе, так как у такой «замены» может быть только два возможных результата: 1 - 0 = 1 и 1 - 1 = 0.

К полученному вычитаемому прибавьте единицу.

1000102+ 12 = 1000112

Теперь вместо вычитания сложите два двоичных числа.

1011002 +1000112= ?

Проверьте ответ. Быстрый способ – откройте двоичный онлайн калькулятор и введите в него вашу задачу. Два других метода подразумевают проверку ответа вручную.

1) Переведем числа в двоичную систему счисления: Допустим, что из числа 1011012 нужно вычесть 110112

2) Обозначим как A число 1011012 и как B число 110112.

3) Запишем числа A и B столбиком, одно под другим, начиная с младших разрядов (нумерация разрядов начинается с нуля).

Разр.

6

5

4

3

2

1

0

A

  

1

0

1

1

0

1

B

    

1

1

0

1

1

 

4) Вычтем разряд за разрядом из числа A число B записывая результат в C начиная с младших разрядов. Правила поразрядного вычитания, для двоичной системы счисления представлены в таблице ниже.

Заемиз текущего разрядаOi-1

Ai

Bi

Ci

Заемиз следующего разрядаOi+1

 

0

0

0

 

 

0

1

1

1

 

1

0

1

 

 

1

1

0

 

1

0

0

1

1

1

0

1

0

1

1

1

0

0

 

1

1

1

1

1

 

Весь процесс сложения наших чисел выглядит следующим образом:

(красным шрифтом показаны заёмы из соответствующего разряда)

Получилось 1011012 - 110112 = 100102 или в десятичной системе счисления: 4510 - 2710 = 1810

Правила умножения двоичных чисел.

В целом эти правила очень просты и понятны.

0*0=0 0*1=0 1*0=0 1*1=1

Умножение многоразрядных двоичных чисел происходит точно также как и обычных. Каждое значащий разряд умножаем на верхнее число по приведенным правилам, соблюдая позиции. Умножать просто - так как умножение на единицу даёт одно и тоже число.

×

      

1

1

1

0
       

1

0

1
 

+

      

1

1

1

0
 

1

1

1

0

    
 
 

1

0

0

0

1

1

0

 

Система счисления Методы перевода десятичного числа в двоичное

inphormatika.ru

Двоичная арифметика - Двоичная арифметика - Системы счисления - Каталог статей

Арифметические операции в двоичной системе счисления

       Из всех позиционных систем особенно проста двоичная система счисления. Рассмотрим выполнение основных арифметических действий над двоичными числами.

     Все позиционные системы счисления "одинаковы”, а именно, во всех них выполняются арифметические операции по одним и тем же правилам:

Сложение

 

Рассмотрим примеры на сложение.

     При сложении столбиком двух цифр справа налево в двоичной системе счисления, как в любой позиционной системе, в следующий разряд может переходить только единица.

     Результат сложения двух положительных чисел имеет либо столько же цифр, сколько у максимального из двух слагаемых, либо на одну цифру больше, но этой цифрой может быть только единица.

Вычитание

     Рассмотрим примеры  на вычитание.      При выполнении операции вычитания всегда из большего по абсолютной величине числа вычитается меньшее и у результата ставится соответствующий знак.Умножение      Рассмотрим примеры  на умножение.

     Операция умножения выполняется с использованием таблицы умножения по обычной схеме (применяемой в десятичной системе счисления) с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя.

Рассмотрим примеры  на умножение.

    

При выполнении умножения в примере 2 складываются три единицы 1+1+1=11 в соответствующем разряде пишется 1, а другая единица переносится в старший разряд.В двоичной системе счисления операция умножения сводится к сдвигам множимого и сложению промежуточных результатов.Деление

     Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления.

     Рассмотрим примеры на деление

ПОДРОБНЫЙ ПРИМЕР НА ДЕЛЕНИЕ

dpk-info.ucoz.ru