Почему квадрат не круг: О круглом квадрате — Тимур Василенко — LiveJournal

Тимур Василенко

Случаю, когда естественный язык выражает мысль, а ментальный код ее не выражает, соответствует такая ситуация, когда нечто можно сказать, но нельзя подумать. И более того, мы действительно имеем примеры высказываний, которые явно можно сказать, но нельзя подумать: «Я не существую», «Существует круглый квадрат», «Одновременно истинны p и не-p», «Бесцветные зеленые идеи яростно спят» и т.п. Конечно, это случай, когда язык выражает нечто заведомо несуществующее в реальности.

Тут не совсем ясно, что понимается под «нельзя подумать». С одной стороны, мы может произнести любую из этих фраз про себя или вообразить ее написанной; но это явно не то, что имелось ввиду. Наверное, имеется ввиду то, можем или не можем мы представить некий воображаемый образ, выражаемый одним из этих высказываний и отличный от его словесной предметности. То есть мы считаем, что ментальный код это некие воображаемые образы, и хотим понять, есть ли в языке некие объекты, не имеющие воображаемых образов. Мой тезис состоит в том, что таких языковых объектов нет.

Прежде всего хочу отметить, что четыре приведенных примера — «Я не существую», «Существует круглый квадрат», «Одновременно истинны p и не-p», «Бесцветные зеленые идеи яростно спят» — удачно покрывают разные способы возможного несуществования, и потому имеет смысл рассмотреть их по отдельности.

I. «Я не существую»

В этом случае мне даже не надо выдумывать аргументов, просто цитата из книги И. Кона «В поисках себя»:

Это случилось, когда психология еще не выделилась в самостоятельную специализацию и существовала на правах отделения философского факультета. В деканат робко заглянул студент-первокурсник и сказал, обращаясь к выходившему профессору: «Вы знаете, профессор, меня мучает одна проблема». – «Какая?» – спросил тот (это был известный логик). «Понимаете, иногда мне кажется, что я не существую». – «Кому кажется, что вы не существуете?» уточнил профессор. «Мне», – растерянно ответил студент и, не сказав больше ни слова, поспешно ушел. Собственный вопрос показался ему настолько абсурдным, что он смутился и не посмел продолжать разговор. Но нелепое с точки зрения логики не всегда будет таковым с точки зрения философии, психологии и просто здравого смысла.

Зафиксируем здесь две вещи:
1) Студент явно имел ментальный образ того, что он не существует — как иначе понимать «мне кажется»? Этот образ, ощущение ставили его в тупик, каковое положение только усилил профессор-логик своим вопросом.
2) Это высказывание нелепо с определенной точки зрения — с точки зрения логики, но не психологии или здравого смысла.
Итак, в двучленную систему ментальный код + язык явно надо ввести третий член — точку зрения, а более конкретно — логику. На самом деле никакая иная точка зрения не позволит нам обоснованно говорить о несуществовании. О существовании — почти любая, достаточно привести пример этого существования; но утверждать и, главное, обосновывать несуществование мы можем только с точки зрения, в которой правила рассуждения играют гораздо большую роль, чем содержание рассуждения. Собственно, обоснование мы и понимаем как убеждение посредством рассуждений. К примеру, высказывание «космонавты летали и никакого бога не видели» может быть психологически убедительным (особенно если произносится авторитетом), но никак не обоснованным. С позиции здравого смысла несуществование означает скорее непредставимость, как в известном анекдоте про Василь Иваныча и квадратный трехчлен. (интересно отметить, что в аналитической философии понятия представимости и существования тоже оказываются связанными, но чуть иначе: то, что представимо, может существовать; однако оставим вопросы о существовании философских зомби зомби-философам)
Как бы то ни было, из анализа первого высказывания мы выносим следующий вывод: более адекватно рассматривать триаду ментальный код + язык + точка зрения.

II. «Существует круглый квадрат»

Возражение первое: математика знает объекты, которые являются одновременно и кругом, и квадратом. Рассмотрим топологическое пространство, носителем которого является квадрат — т.е. считаем, что он и есть все пространство. На нем есть метрика (без нее мы не можем вообще определить квадрат как четырехугольник с равными сторонами и равными углами. Но если есть метрика, то есть и понятие круга, т.е. множества точек, находящихся на расстоянии, не большего данного, от некой точки, называемой центром (расстояние называется радиусом, а если вместо неравенства положим равенство, то это определение окружности; круг — это окружность со своей внутренностью). Теперь рассмотрим множество точек, удаленных от точки пересечения диагоналей квадрата не более чем на половину его диагонали. Нетрудно понять, что любая точка квадрата удовлетворяет этому условию, а других-то точек и нет — т.е. наш квадрат является доновременно и кругом. Забавно, но его окружностью будет всего четыре точки — вершины квадрата. Еще одним необычным свойством этого пространства является отсутствие окружностей с радиусом, большим диагонали квадрата.
Этот пример, конечно, патологичен, но все равно важен — по сути, в угоду точке зрения (здесь это математика с ее формальными определениями фигур) мы заставляем себя включить и в языковое понятие, и в ментальный образ новый и несвойственный им смысл. Вывод из этого рассмотрения должен быть таков: логически верные рассуждения могут увести нас в рассматриваемом вопросе в сторону от истины, просто за счет подмены смысла понятий. Так что постараемся сверять ход наших рассуждений с очевидностью умозрений.

Возражение второе: иногда продуктивно рассмотреть одну фигуру «как другую». Поясню на элементарном примере. Рассмотрим сектор круга — ту площадь, что заметает стрелка часов за секунду. Этот сектор очень похож на узкий равнобедренный треугольник, высота которого примерно равна радиусу круга, а основание — длине дуги. И чем меньше угол при вершине, тем точнее соответствие. Т.е. площадь сектора примерно равна половине произведения радиуса на длину дуги (из формулы площади треугольника — половина произведения высоты на основание). Но любой большой сектор, а хоть бы и весь круг, мы можем разбить на много узеньких — из формулы видно, что длины дуг складываются, т.е. формула площади сектора остается той же — половина произведения радиуса на длину дуги. Можно представить, что узкий сектор-треугольник разворачивается как веер. А когда он развернется в круг, то мы получим формулу площади круга — половина произведения радиуса на длину окружности; вспомнив формулу длины окружности — 2·π·R (она не требует доказательств, это определение числа π), мы получаем формулу площади круга — π·R².
Здесь мы фактически рассматривали круг как «круглый треугольник». Это же рассмотрение мы можем перенести на шар и рассмотреть его как свернувшуюся ёжиком пирамиду — соотношение между формулами площади поверхности 4·π·R² и объема шара 4/3·π·R³ станет очевидным.
Это пример, где «треугольность круга» выступает как продуктивная метафора. А кто сказал, что мы не мыслим метафорами? Как раз ими-то и мыслим.

III. «Бесцветные зеленые идеи яростно спят»

Вот, казалось бы, пример невообразимого! Фраза, включающая целах два оксюморона — так и попытаемся вообразить ее через эти оксюмороны, то есть рассмотрим их как метафоры, а все высказывание — как поэтическое. Возьмем за основу «идеи», которые, прежде всего, «зеленые», то бишь незрелые; «бесцветные» тут тоже вполне читается как не вполне прорисовавшиеся, пока смутные. Теперь «яростно спят» — неслабый, к слову сказать, поэтический образ! Эти слова можно интерпретировать как «внешне бездеятельно внутри набирают грозную силу», это как Илья Муромец сидел на печи тридцать лет и три года — «яростно спал», зато потом встал непобедимым богатырем. Теперь перечтите исходную фразу — появился ведь ментальный ее образ? И, по крайней мере у меня, это образ отнюдь не визуальный, скорее динамический или драматический.
Не является ли проделанная операция насилием над сознанием, не заставляем ли мы сознание обрести, даже сконструировать некий образ, стоящий за этой фразой? В какой-то мере — да, но так ли легко понимать поэзию? Понимание поэзии, понимание живописи, понимание музыки (в последнем случае я даже не подпишусь под «пониманием», скорее под «восприятием») — все это воспитывается, тренируется. Настоящая поэзия отличается не легкостью восприятия ее образов, а их глубиной. Но все равно — достигаемая легкость восприятия есть результат тренировки, никак иначе.

IV. «Одновременно истинны p и не-p»

Вот эта фраза вызывает, пожалуй, наибольшие затруднения. Не потому, что надо вообразить одновременно «p и не-p», нет — боюсь, что в моем сознании нет ментального образа для «истинно». Что значит «истинно»? Это синоним «существует»? Т.е. это каким-то образом может быть предъявлено? Не понимаю.
Конечно, я могу вообразить «истинностное значение p» как некое булево значение, как лампочку, которая либо включена, либо выключена — а могу вообразить ее часто-часто мигающей. Я могу вообразить, что человек в комнате произносит фразу p, и в этот момент он не может произнести фразу не-p; но могу вообразить и двоих человек в этой комнате, один из которых произносит p, а другой — не-p.
Но, повторяю, меня ни одна из этих картин не устраивает именно как воплощение понятия «истинно». Полагаю, что дело тут в том, что само это понятие не самостоятельно, оно производно от того, что выше я назвал точкой зрения. Вернее, это конструкт, существующий только внутри этой точки зрения. В этом смысле — да, язык может позволить себе больше, чем сознание. Но только в этом смысле — то есть когда сознание ограничено только одной точкой зрения, в данном случае — логикой.

Теперь, после анализа всех этих примеров, сформулирую некие резюмирующие тезисы (часть из них авансом):
1. При анализе взаимоотношения языка и ментального кода необходимо рассматривать еще третий элемент — точку зрения или способ мышления;
2. Для любого высказывания, соответствующего правилам грамматики языка и описывающего нечто, найдется такая точка зрения, в которой это высказывание будет представимо, то есть ему будет соответствовать некий ментальный образ;
3. Ментальные образы являются результатом тренировки (частично) и потому культурно-зависимы;
4. Точка зрения определяет правила использования как языка, так и ментальных образов. В частности, она может запрещать рассматривать некие свойства и конструкции, как потенциально ведущие к ее разрушению;
5. Возможно существование ментальных образов, не выразимых в языке. Это возможно при отсутствии подходящей точки зрения (у данного человека или вообще).

Из этих пяти тезисов только последний никак не следует из предыдущего рассмотрения и требует отдельного обоснования. Но пока хотелось бы чуть подробнее остановиться на п.3 и п.4.

V. Ментальный образ пространства

Мы живем в трехмерном изотропном евклидовом пространстве, по крайней мере мы так его мыслим. Так? А из чего мы это заключаем? Во-первых, пространство не изотропно. Я не могу пройти сквозь стенку и, если иду по песку, то куда медленнее, чем по асфальту. Во-вторых, почему я считаю, что пространство трехмерно? На самом деле мне это «очевидно» в самом что ни на есть прямом смысле слова — я смотрю в угол комнаты и там, где сходятся две стены и потолок, вижу эти три измерения. Вижу, потому что живу в среде, в которой полно прямых и плоскостей. Амазонский индеец или африканский бушмен живет в иной среде — там нет прямых линий, все кривое и весьма запутанное. Если он имеет ментальный образ пространства, то с чего бы ему быть изотропным и трехмерным? Он вполне может быть устроен о типу графа — этакие связанные локации. На самом деле, даже в нашем сознании живет такой образ пространства — сошлюсь тут на классическую работу Э. Толмена «Когнитивные карты у крыс и человека», это же подтверждают и древние восточные географические карты. Да что там говорить, любой житель Москвы имеет в своем сознании когнитивную карту города, построенную на общей для всех основе — на схеме метро. Пространство автомобилиста это еще и ориентированный взвешенный граф — и все эти образы уживаются в одном сознании с представлением о трехмерном изотропном пространстве физики. (для желающих узнать о когнитивных картах городского пространства отсылаю к классической книге Кевина Линча «Образ города» и, как пример, к статье Н. Епископян «Ментальная карта Еревана»)
То есть представление об изотропном пространстве это конструкция, результат мыслительной работы и конструирование соответствующей точки зрения — геометрической. Но в эту точку зрения входит и еще одна важная составляющая — запрет на рассмотрение неких свойств ментальных объектов.

Он учил крошку латыни и греческому. Он пытался ей передать мысль о красоте высшей математики. Но когда он ей объяснял бесконечную прелесть круга, она спросила: раз он так красив, то какого он цвета? Он голубой? Нет, отвечал он, у круга нет цвета. И с той минуты он начал опасаться, что мальчика из нее не получится.
(Карен Бликсен)

Собственно, почему у круга нет цвета? Анализируя свое ментальное представление круга, убеждаюсь — нет цвета. А вот у стереометрических объектов есть — пусть не цвет, а свет: стереометрическая конструкция или пространственный чертеж представляются мне светлым на темном фоне. Но у меня вообще визуальный тип восприятия, я и чисто числовые конструкции часто представляю наглядно — разумеется, это такие математические метафоры по типу круглого треугольника, о котором я писал выше. Даже музыка, и та иногда вызывает пространственные образы. Как бы то ни было, геометрическая точка зрения считает атрибут цвета (равно как и гладкости или бархатистости) несущественным и как бы не существующим. Иногда у ментального образа его действительно нет.

VI. Какого рода бывают ментальные образы?

Пока большинство ментальных образов, упоминавшихся здесь, имели визуальную природу. Какие бывают еще? Психологи говорят, что есть люди с аккустическим восприятием, можно представить операциональные или драматургические образы. Иногда эти образы странно переплетаются.
К примеру, можем ли мы вообразить четырехмерное геометрическое пространство? Визуально я, пожалуй, не могу, операционально — вполне. К примеру, в трехмерном пространстве веревка с узлом на ней, если у нее склеить концы, не распутывается. В четырехмерном пространстве любой такой узел можно распутать. Делается это просто: если бы веревка могла пройти сквозь себя в точке пересечения, то узла как бы и нет, потянули и получилось кольцо. А теперь начинаем это делать в трехмерном пространстве, а когда веревка подходит к самопересечению, то одну ее часть локально двигаем по четвертому измерению в параллельное пространство. Ну примерно как перейти дорогу по подземному переходу. Миновав точку пересечения, возвращаем этот кусок веревки в наше трехмерное пространство. Это — пример операционального мышления, если вы умеете складывать оригами, то там как раз оно и используется. Вообразить само пространство не получается, а вообразить оперирование в нем — вполне.

Другой пример: какой ментальный образ вызывает формула e^i·π + 1 = 0 ?
У гуманитария с незамутненным сознанием скорее всего эта формула будет ассоциироваться с математикой вообще, чем-то от него далеким. Ясно, что это еще никак не ментальный образ этой формулы. Гуманитарий с некоторой общекультурной эрудицией вспомнит исторический анекдот про Екатерину Вторую, Дидро и Эйлера. Является ли этот анекдот, его коллизия, ментальным образом этой формулы? — пожалуй, все еще нет. Я, как человек, изучавший математику, представляю себе точку на комплексной плоскости — это одновременно и ментальный образ этой формулы, и набросок ее доказательства. И я даже не могу помыслить, какой ментальный образ может скрываться за этой формулой у работающего математика.
Является ли образ точки на комплексной плоскости ментальным кодом этой формулы? Вот тут я тоже затрудняюсь ответить. С одной стороны, да, что же еще может быть ее ментальным кодом? А с другой стороны — это скорее само доказательство, то есть глядя на точку комплексной плоскости, я убеждаюсь в верности этой формулы, но оперирую не ее образом, а образами входящих в нее математических объектов. Тогда то ли истинность этой формулы не имеет в моем сознании ментального кода, то ли этот код совпадает с ее математическим смыслом.
Как бы то ни было, все эти ментальные коды очень далеки от незамутненного математикой сознания гуманитария. Исходя из того, что изначально наши сознания не сильно различались, я делаю вывод о том, что мой набор ментальных кодов есть во многом результат тренировки, конкретно в этом случае — изучения математики. Часть этого кода является общекультурной (в частности, интерпретацию комплексных чисел как точек на плоскости изобрел, если не ошибаюсь, Гаусс), часть — индивидуальной (по крайней мере сам набор кодов из разных областей культуры, но может быть что-то еще — выше я упоминал цвет геометрических фигур). Выше я не различал ментальный код и воображаемый образ, и делал это намеренно — то, что можно назвать ментальным кодом, рождается, натренировывается из опыта оперирования воображением. Если относительно когнитивных карт еще есть сомнения (некая способность к их построению должна быть заложена в сознание с рождения), то ментальные коды изотропного пространства и равномерного времени это почти целиком результат мыслительной работы, натренированность соответствующих образов.

VII. Метафора как познавательная способность

Не возникает ли противоречия в том, как мы рассматривали «бесцветные зеленые идеи» с выявленным генезисом нашего ментального кода? Действительно, абстрактные понятия и соответствующий им ментальный код возникают как результат тренировки их правильного употребления, то есть с соблюдением соответствующих ограничений, налагаемых тем, что мы назвали «точкой зрения». В любой науке это видно более или менее явно, в понимании поэзии или искусства, особенно музыки — может неявно натренировываться на восприятии правильных образцов. Как вообще возможно, что эти образы, этот ментальный код выходит за пределы породившей его точки зрения? Не возникает ли тут противоречия?
Да, противоречие есть, метафора изначально противоречива. Вот небольшой очерк теории метафоры из статьи Х. Ортеги-и-Гассета «Эссе на эстетические темы в форме предисловия»:

Один левантийский поэт, сеньор Лопес Пико, назвал кипарис «призраком мертвого пламени».
Вот очевидная метафора. Каков же здесь метафорический предмет? Не кипарис, не пламя, не призрак — все они принадлежат миру реальных образов. Новый объект, который выходит нам навстречу, — некий «кипарис — призрак пламени». И что же, такой кипарис уже не кипарис, такой призрак уже не призрак, такое пламя уже не пламя. Если мы хотим выделить то, что может остаться от кипариса, вдруг превращенного в пламя, и от пламени, ставшего кипарисом, то все сведется к реальному наблюдению над схожестью линейных очертаний кипариса и пламени. Это реальное сходство между тем и другим предметом. Во всякой метафоре есть реальное сходство между ее элементами, и поэтому принято думать, что метафора якобы по сути своей заключается в уподоблении или в уподобляющем сближении двух далеких друг от друга вещей.
И тут все ошибаются. […] …метафора нас удовлетворяет именно потому, что мы угадываем в ней совпадение между двумя вещами, более глубокое и решающее, нежели любое сходство. […]
Мы ищем какой-то другой предмет, на который кипарис действительно в чем-то похож, но в чем-то мало существенном. Опираясь на эту несущественную идентичность, мы заявляем об их абсолютной идентичности. Это абсурд, это невероятно. Соединенные совпадением в чем-то мало важном, во всем остальном эти образы сопротивляются взаимопроникновению, отталкивают друг друга. Реальное сходство служит на деле тому, чтобы подчеркнуть реальное несходство обоих предметов. Там, где обнаруживается реальная идентичность, нет метафоры. В метафоре живет ясное сознание неидентичности. […]
Традиционная логика употребляет способ утверждения отрицанием, согласно которому отрицание вещи есть в то же время утверждение новой вещи. Так, в нашем примере кипарис-пламя не есть уже реальный кипарис, но новый предмет, сохраняющий от физического дерева лишь мысленную форму, которая наполняется новой субстанцией, абсолютно чуждой кипарису, — призрачной материей мертвого пламени. И наоборот, пламя покидает узкие границы реальности, в пределах которой оно пламя и ничего более, чтобы перелиться в чисто идеальную форму. В результате первой операции предмет уничтожается как образ реального. В столкновении предметов ломается их твердый остов, и внутренняя материя в расплавленном состоянии напоминает плазму, готовую принять новую форму и структуру. Предмет «кипарис» и предмет «пламя» начинают перетекать, превращаться в идеальную тенденцию кипариса и идеальную тенденцию пламени. Вне метафоры, во внепоэтическом мышлении каждый из этих предметов — термин, конечный пункт движения нашего сознания. Поэтому движение к одному из них исключает движение к другому. Но когда метафора декларирует их абсолютную идентичность с той же силой, что и абсолютную неидентичность, она подводит нас к тому, что мы не ищем идентичности в реальных образах этих предметов, а используем их всего лишь как отправной пункт, как знак, за которым мы должны найти идентичность новых объектов, — кипарис, который без всякого абсурда мы можем считать пламенем.
Вторая операция: поскольку мы уже предупреждены, что реальные образы не идентичны, метафора настаивает упрямо на идентичности. И увлекает нас в другой мир, где, по-видимому, такая идентичность возможна.

Обращаю внимание на последнюю фразу — она как раз говорит о смене того, что выше мы назвали «точкой зрения». Эта смена может быть неглубокой — когда мы читаем стихи, то явно не предполагаем развивать новые, подаренные метафорой ментальные образы; мы остаемся на в этом смысле поверхностной поэтической точке зрения, предполагающей появление многих подобных образов. Но такая смена точки зрения может быть и глубокой — этому соответствует понятийный аппарат новой научной теории или какого-либо учения.
И еще обращаю внимание на присутствие в последней фразе цитаты выражения «по-видимому». Для творения нового мира, вмещающего метафору, нам даже не требуется уверенности в том, что такой мир возможен; нам достаточно надежды на это. Тем самым этот мир существует, пока мы не пытаемся его слишком уж пристально проанализировать и разрушить. Существование — очень неоднозначная штука.
Поскольку ментальные образы имеют свойство натренировываться и достраиваться в процессе их осмысления, то имеется существенная методологическая трудность в их изучении. Любимый метод философов — интроспекция — тут не совсем применим, поскольку существенно влияет на объект, на сами эти образы и, в частности, на ментальный код. Как ни странно, достоверными тут могут быть только поверхностные наблюдения. Более или менее массовые поверхностные наблюдения, в основном методом опроса, это аппарат психологии и социологии. Но при этом мы упускаем индивидуальные различия ментальных кодов, которые в данном случае существенны. Это проблема.
Моя неспособность представить «истинно p и не-p» есть результат недостаточной натренированности соответствующего образа, он не вполне стал ментальным кодом. Языковая аналогия — использование иностранного языка, когда фраза строится через явное припоминание правил грамматики и с заглядыванием в словарь. И в том, и в другом случае результатом тренировки станет легкость и автоматизм использования, более того, расширятся познавательные и языковые возможности. Один и тот же механизм, естественный язык и ментальный код не очень-то тут различаются.

VIII. Заключение: пример ментального образа, не имеющего соответствия в языке

Но есть одно существенное отличие, когда мы видим большие возможности ментальных образов по сравнению с языком:

Что может быть более бессмысленным, чем полагать, что кто-то был не в состоянии отличить высказываний от столов? Но Мур видел сон, в котором он не смог этого сделать.
(Н. Малколм «Состояние сна», М:Прогресс, 1993, с.95)

Какого рода объекты видел Мур в своем сне? С одной стороны, они до неразличимости совмещали в себе свойства высказываний и свойства столов, с другой стороны — все же носили разные имена. Представить это наглядно у меня не получается, вместе с тем я вполне понимаю, как такое могло быть. Сновидческая реальность обладает примечательной особенностью — она невыразима в языке. Любой, кто пытался пересказать сон, мучительно осознавал верность тютчевского высказывания «мысль изреченная есть ложь», пусть и сказанного по иному поводу. Сон очевиден, но его образы — ментальные образы! — столь странны, что удовлетворительно описать их невозможно. Эти образы не укладываются в бодрствующем сознании, что к тому же является причиной того, что сны забываются в течение секунд (десятков секунд). Мы помним не сны, а внутренние пересказы снов, которые успели сделать за эти секунды. Почему так? Моя гипотеза состоит в том, что сон это состояние, лишенное точки зрения, а бодрствование и, что немаловажно, память предполагают наличие какой-либо точки зрения (они могут сменять друг друга, но их присутствие обязательно). Так что сновидческие ментальные образы существуют и они шире языка.
Отдельный вопрос: являются ли эти образы ментальным кодом? В этом я не уверен — само понятие кода предполагает некую устойчивость его элементов. Есть ли такая устойчивость у сновидческих образов? С одной стороны, они очень изменчивы, очень. С другой — их постоянства все же хватает, чтобы был возможен пересказ сюжета сна. Так что признать их кодом или нет — неясно, но они уж точно являются протокодом, теми объектами, из которых потом строится ментальный код.